Uma força de \mathbf{P} de 1000 N é aplicada no ponto A de um elemento estrutural. Substitua \mathbf{P} por um sistema força-binário equivalente em B.

Passo 1

O que o enunciado pede: substituir a força \mathbf{P} de 1000\\ \text{N} aplicada em A por um sistema força + binário equivalente referenciado ao ponto B.
Informações que o enunciado (e a figura) dão e que vou usar (peguei os comprimentos da imagem):
  • Módulo da força: \;P=1000\\ \text{N}.
  • Direção da força: \;60^\circ acima da horizontal (apontando para a direita e para cima).
  • Distância horizontal de B até o canto onde começa a perna vertical: \;0{,}6+1{,}2=1{,}8\\ \text{m}. (peguei 0{,}6 e 1{,}2 na imagem)
  • Distância vertical do canto até o ponto A: \;0{,}3+0{,}4=0{,}7\\ \text{m}. (peguei 0{,}3 e 0{,}4 na imagem)
Objetivo prático: calcular a componente da força quando deslocada para B e o momento (binário) necessário em B para manter equivalência.

Passo 2

Princípio usado e fórmula-chave: a força pode ser transladada sem mudar o efeito externo desde que se adicione ao novo ponto um momento igual a \mathbf{M}_B=\mathbf{r}_{B\to A}\times\mathbf{P}. Vou trabalhar em duas dimensões (plano x horizontal para a direita, y vertical para cima). Para vetores no plano, o momento escalar (componente em z) vale
M_B = r_x P_y - r_y P_x,
onde \mathbf{r}=(r_x,r_y) é o vetor de B até A e P_x,P_y são as componentes da força. Esse resultado vem do produto vetorial \mathbf{r}\times\mathbf{P}.

Passo 3

Posição de A referida a B: como expliquei no Passo 1, da imagem temos
r_x = 1{,}8\\ \text{m},\qquad r_y = 0{,}7\\ \text{m}.
Portanto o vetor posição é \mathbf{r}_{B\to A} = \langle 1{,}8,\;0{,}7\rangle\\ \text{m}.

Passo 4

Decomposição da força \mathbf{P} em componentes cartesianas usando trigonometria. Para uma força de módulo P que faz ângulo \theta com a horizontal:
P_x = P\cos\theta,\qquad P_y = P\sin\theta.
Aqui \theta=60^\circ e P=1000\\ \text{N}, então
P_x = 1000\cos60^\circ = 1000\cdot\frac{1}{2} = 500\\ \text{N},
P_y = 1000\sin60^\circ = 1000\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3}\\ \text{N}\approx 866{,}03\\ \text{N}.

Passo 5

Cálculo do momento em B gerado por \mathbf{P} aplicado em A. Uso a fórmula do Passo 2:
M_B = r_x P_y - r_y P_x.
Substituindo os valores:
M_B = 1{,}8\cdot(500\sqrt{3}) - 0{,}7\cdot(500).
Posso escrever isso de forma compacta:
M_B = 1000\bigl(1{,}8\sin60^\circ - 0{,}7\cos60^\circ\bigr) = 1000\bigl(0{,}9\sqrt{3} - 0{,}35\bigr).
Agora o valor numérico:
M_B \approx 1{,}8\cdot866{,}025 - 0{,}7\cdot500 = 1558{,}845 - 350 = 1208{,}845\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Arredondando convenientemente: M_B \approx 1208{,}85\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Interpretação do sinal e sentido: como M_B>0 na convenção usada ( r_x P_y - r_y P_x), o momento é orientado para fora do plano (e causa rotação no sentido anti-horário quando visto pela face).

Passo 6

Montagem do sistema força + binário equivalente em B:
  • A força resultante em B (mesmas componentes de \mathbf{P}) é
\mathbf{P}_B = 500\,\mathbf{i} + 500\sqrt{3}\,\mathbf{j}\\ \text{N}\quad(\text{aprox. }500\,\mathbf{i}+866{,}03\,\mathbf{j}\\ \text{N}).
  • O binário a aplicar em B para preservar o efeito da força aplicada em A é
M_B = 1208{,}85\\ \text{N}\cdot\text{m},
com sentido anti-horário (ou vetor \mathbf{M}_B = +1208{,}85\,\mathbf{k}\\ \text{N}\cdot\text{m}).

Resposta

\displaystyle \mathbf{P}_B = 500\,\mathbf{i} + 500\sqrt{3}\,\mathbf{j}\\ \text{N}\quad(\text{aprox. }500\,\mathbf{i}+866{,}03\,\mathbf{j}\\ \text{N})
\displaystyle M_B = 1208{,}85\\ \text{N}\cdot\text{m} (sentido anti-horário, \mathbf{M}_B = +1208{,}85\,\mathbf{k}).

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