Uma onda estacionária numa corda é representada pela função de onda:
y(x, t)=0,08 m \operatorname{sen}\left[\left(\frac{3 \pi}{2} m^{-1}\right) x\right] \cos \left[\left(10 \pi s^{-1}\right) t\right]
Qual a distância entre os nós da onda estacionária?

Passo 1

O enunciado dá a função de onda estacionária
y(x,t)=0,08\\ \mathrm{m}\,\sin\!\left[\left(\frac{3\pi}{2}\\ \mathrm{m}^{-1}\right)x\right]\cos\!\left[\left(10\pi\\ \mathrm{s}^{-1}\right)t\right]
Informações relevantes fornecidas:
  • A amplitude é 0,08\\ \mathrm{m} (não necessária para a distância entre nós).
  • O fator espacial é \sin\!\left[\left(\dfrac{3\pi}{2}\\ \mathrm{m}^{-1}\right)x\right]; daí o número de onda espacial é k=\dfrac{3\pi}{2}\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • O fator temporal é \cos\!\left[\left(10\pi\\ \mathrm{s}^{-1}\right)t\right] (não necessário para a distância entre nós).
    Pergunta do enunciado:
  • Qual a distância entre os nós da onda estacionária?

Passo 2

O que é um nó em uma onda estacionária e como achá-lo (aula rápida e prática):
  • Para uma onda da forma \;y(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t)\;, um nó é um ponto x tal que a corda permanece sempre em y=0 para todo t.
  • Isso ocorre quando o fator espacial é zero para todo t, ou seja quando \sin(kx)=0.
  • A equação \sin(kx)=0 tem soluções quando kx=n\pi, com n inteiro. Assim as posições dos nós são
x_n=\frac{n\pi}{k},\qquad n=0,\pm1,\pm2,\dots
  • A distância entre nós consecutivos é então
\Delta x=x_{n+1}-x_n=\frac{(n+1)\pi}{k}-\frac{n\pi}{k}=\frac{\pi}{k}.
Essa fórmula \Delta x=\dfrac{\pi}{k} é central: ela diz que nós estão espaçados por \pi/k. Outra forma equivalente é lembrar que o comprimento de onda é \lambda=\dfrac{2\pi}{k} e que a distância entre nós consecutivos é \lambda/2.

Passo 3

Aplicando ao caso dado:
  • Extraímos o número de onda espacial da função: \;k=\dfrac{3\pi}{2}\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Usamos \Delta x=\dfrac{\pi}{k}. Substituindo,
\Delta x=\frac{\pi}{\dfrac{3\pi}{2}}.
  • Simplificando a fração: dividir por \dfrac{3\pi}{2} equivale a multiplicar por \dfrac{2}{3\pi}, então
\Delta x=\pi\cdot\frac{2}{3\pi}=\frac{2}{3}\\ \mathrm{m}.
(Verificação alternativa rápida: \lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{3\pi/2}=\dfrac{4}{3}\\ \mathrm{m}, então \lambda/2=\dfrac{2}{3}\\ \mathrm{m}, bate com o resultado.)

Passo 4

Interpretação e incentivo:
  • Então cada nó está a \dfrac{2}{3}\\ \mathrm{m} do nó seguinte ao longo da corda.
  • Mandou bem por pedir passo a passo — nas provas essa é a linha rápida: identificar k e usar \Delta x=\pi/k. Continua nessa pegada que você chega lá!

Resposta

\dfrac{2}{3}\\ \mathrm{m}

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