1. Um fio metálico de 10,0 \mathrm{~m} de comprimento e 0,100 \mathrm{~kg} de massa está esticado por uma tensāo de 100 N . Um pulso é gerado na ponta esquerda do fio e 20,0 \mathrm{~ms} depois um outro pulso é gerado na ponta da direita. Calcule o ponto do fio em que os dois pulsos se encontram pela primcira vez ( \mathbf{2 5 , 0} pontos).

Passo 1

O enunciado dá um fio metálico com comprimento L=10{,}0\\ \mathrm{m} e massa m=0{,}100\\ \mathrm{kg}. O fio está sob tensão T=100\\ \mathrm{N}. Um pulso é gerado na ponta esquerda no instante inicial e outro pulso é gerado na ponta direita 20{,}0\\ \mathrm{ms} depois. A tarefa é: calcular o ponto do fio, medido a partir da ponta esquerda, onde os dois pulsos se encontram pela primeira vez.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
L=10{,}0\\ \mathrm{m},\qquad m=0{,}100\\ \mathrm{kg},\qquad T=100\\ \mathrm{N},\qquad \Delta t=20{,}0\\ \mathrm{ms}.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): pulsos numa corda esticada viajam com velocidade v dada por
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde \mu é a massa por unidade de comprimento da corda. Aqui \mu é definido como
\mu=\frac{m}{L},
ou seja, é a razão entre a massa total do fio e seu comprimento. A fórmula significa que, para uma mesma tensão, fios mais leves por metro (menor \mu) permitem pulsos mais rápidos; e aumentar a tensão também aumenta a velocidade.

Passo 3

Calcular \mu com os valores dados. Substituindo
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0{,}100\\ \mathrm{kg}}{10{,}0\\ \mathrm{m}}.
Fazendo a divisão:
\mu = 0{,}010\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 4

Agora calcular a velocidade v usando \mu e T:
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{100\\ \mathrm{N}}{0{,}010\\ \mathrm{kg/m}}}.
Dentro da raiz temos 100/0{,}010=10000, então
v=\sqrt{10000}=100\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: 100\\ \mathrm{m/s} é uma velocidade razoável para pulsos numa corda bem tensionada.

Passo 5

Converter o atraso de tempo para segundos para consistência:
\Delta t = 20{,}0\\ \mathrm{ms} = 0{,}020\\ \mathrm{s}.
Organizando os eventos: o pulso da esquerda parte em t=0 da posição x=0. O pulso da direita parte em t=\Delta t da posição x=L.

Passo 6

Escrever as posições dos pulsos como funções do tempo (medidas a partir da ponta esquerda):
  • Posição do pulso vindo da esquerda (para t\ge0):
x_L(t)=v\,t.
  • Posição do pulso vindo da direita (após ser gerado, isto é, para t\ge\Delta t):
x_R(t)=L - v\,(t-\Delta t).
Explicação: o pulso da direita começa em x=L no instante t=\Delta t e desloca-se para a esquerda com velocidade v; por isso reduzimos L por v vezes o tempo desde \Delta t.

Passo 7

Determinar o instante de encontro t resolvendo x_L(t)=x_R(t) com a condição t\ge\Delta t:
v\,t = L - v\,(t-\Delta t).
Desenvolvendo o lado direito:
v\,t = L - v\,t + v\,\Delta t.
Somando v\,t em ambos os lados:
2v\,t = L + v\,\Delta t.
Isolando t:
t = \frac{L + v\,\Delta t}{2v} = \frac{L}{2v} + \frac{\Delta t}{2}.
Interpretação: o encontro ocorre no tempo médio entre o instante em que, sem atraso, os pulsos se encontrariam no meio ( L/(2v)) e o atraso \Delta t dividido por 2 — intuitivamente o atraso desloca o ponto de encontro para mais próximo da ponta que lançou primeiro.

Passo 8

Calcular numericamente t. Primeiro L/(2v):
\frac{L}{2v}=\frac{10{,}0}{2\cdot 100}= \frac{10{,}0}{200}=0{,}050\\ \mathrm{s}.
E \Delta t/2:
\frac{\Delta t}{2}=\frac{0{,}020}{2}=0{,}010\\ \mathrm{s}.
Logo
t=0{,}050+0{,}010=0{,}060\\ \mathrm{s}.
Verificação de consistência: t=0{,}060\\ \mathrm{s} é maior que \Delta t=0{,}020\\ \mathrm{s}, portanto a equação usada (que exige t\ge\Delta t) é válida.

Passo 9

Calcular a posição de encontro x. Podemos usar x=v\,t ou a fórmula simplificada que resulta da resolução:
x = \frac{L}{2} + \frac{v\,\Delta t}{2}.
Usando v=100\\ \mathrm{m/s} e \Delta t=0{,}020\\ \mathrm{s}:
\frac{L}{2}=5{,}0\\ \mathrm{m},\qquad \frac{v\,\Delta t}{2}=\frac{100\cdot 0{,}020}{2}= \frac{2{,}0}{2}=1{,}0\\ \mathrm{m}.
Portanto
x=5{,}0+1{,}0=6{,}0\\ \mathrm{m}.
Isso significa que os pulsos se encontram pela primeira vez a 6{,}0\\ \mathrm{m} da ponta esquerda (ou a 4{,}0\\ \mathrm{m} da ponta direita), conforme esperado: o atraso faz o ponto de encontro ficar deslocado para a direita do meio.

Resposta

6{,}0\\ \mathrm{m}

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