- Um fio metálico de
de comprimento e
de massa está esticado por uma tensāo de 100 N . Um pulso é gerado na ponta esquerda do fio e
depois um outro pulso é gerado na ponta da direita. Calcule o ponto do fio em que os dois pulsos se encontram pela primcira vez (
pontos).
Passo 1
O enunciado dá um fio metálico com comprimento
e massa
. O fio está sob tensão
. Um pulso é gerado na ponta esquerda no instante inicial e outro pulso é gerado na ponta direita
depois. A tarefa é: calcular o ponto do fio, medido a partir da ponta esquerda, onde os dois pulsos se encontram pela primeira vez.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): pulsos numa corda esticada viajam com velocidade
dada por
onde
é a massa por unidade de comprimento da corda. Aqui
é definido como
ou seja, é a razão entre a massa total do fio e seu comprimento. A fórmula significa que, para uma mesma tensão, fios mais leves por metro (menor
) permitem pulsos mais rápidos; e aumentar a tensão também aumenta a velocidade.
Passo 3
Calcular
com os valores dados. Substituindo
Fazendo a divisão:
Passo 4
Agora calcular a velocidade
usando
e
:
Dentro da raiz temos
, então
Comentário prático:
é uma velocidade razoável para pulsos numa corda bem tensionada.
Passo 5
Converter o atraso de tempo para segundos para consistência:
Organizando os eventos: o pulso da esquerda parte em
da posição
. O pulso da direita parte em
da posição
.
Passo 6
Escrever as posições dos pulsos como funções do tempo (medidas a partir da ponta esquerda):
- Posição do pulso vindo da esquerda (para
):
- Posição do pulso vindo da direita (após ser gerado, isto é, para
):
Explicação: o pulso da direita começa em
no instante
e desloca-se para a esquerda com velocidade
; por isso reduzimos
por
vezes o tempo desde
.
Passo 7
Determinar o instante de encontro
resolvendo
com a condição
:
Desenvolvendo o lado direito:
Somando
em ambos os lados:
Isolando
:
Interpretação: o encontro ocorre no tempo médio entre o instante em que, sem atraso, os pulsos se encontrariam no meio (
) e o atraso
dividido por 2 — intuitivamente o atraso desloca o ponto de encontro para mais próximo da ponta que lançou primeiro.
Passo 8
Calcular numericamente
. Primeiro
:
E
:
Logo
Verificação de consistência:
é maior que
, portanto a equação usada (que exige
) é válida.
Passo 9
Calcular a posição de encontro
. Podemos usar
ou a fórmula simplificada que resulta da resolução:
Usando
e
:
Portanto
Isso significa que os pulsos se encontram pela primeira vez a
da ponta esquerda (ou a
da ponta direita), conforme esperado: o atraso faz o ponto de encontro ficar deslocado para a direita do meio.