Uma onda estacionária numa corda é representada pela função de onda:
y(x, t)=0,08 m \operatorname{sen}\left[\left(\frac{3 \pi}{2} m^{-1}\right) x\right] \cos \left[\left(10 \pi s^{-1}\right) t\right]
Escrever as funções de onda de duas ondas não estacionárias que, quando superpostas, provocam essa onda estacionária:

Passo 1

O enunciado dá a onda estacionária
y(x,t)=0,08\\ \mathrm{m}\,\sin\!\left[\left(\frac{3\pi}{2}\\ \mathrm{m}^{-1}\right)x\right]\cos\!\left[\left(10\pi\\ \mathrm{s}^{-1}\right)t\right]
e pede: escrever duas ondas não estacionárias (ou seja, duas ondas viajantes) que, quando somadas, produzem essa onda estacionária.
Informações explícitas fornecidas:
\text{amplitude da estacionária }A_s=0,08\\ \mathrm{m}, \qquad k=\frac{3\pi}{2}\\ \mathrm{m}^{-1}, \qquad \omega=10\pi\\ \mathrm{s}^{-1}.á

Passo 2

Conceito e identidade trigonométrica que usamos (a “aula rápida”): uma onda estacionária do tipo \sin(kx)\cos(\omega t) aparece quando somamos duas ondas viajantes de mesma amplitude, mesma frequência e sentidos opostos. A identidade trigonométrica que conecta as formas é
\sin\!A\cos\!B=\tfrac{1}{2}\big(\sin(A+B)+\sin(A-B)\big).
Aqui A e B são ângulos genéricos; ao aplicarmos à nossa função, A será kx e B será \omega t. Isso significa que
\sin(kx)\cos(\omega t)=\tfrac{1}{2}\big(\sin(kx+\omega t)+\sin(kx-\omega t)\big),
ou seja, a estacionária é a soma de duas senóides com argumentos kx\pm\omega t, que são ondas viajantes.

Passo 3

Aplicando a identidade à função dada. Temos
y(x,t)=0,08\\ \mathrm{m}\,\sin(kx)\cos(\omega t)
com k=\dfrac{3\pi}{2}\\ \mathrm{m}^{-1} e \omega=10\pi\\ \mathrm{s}^{-1}. Usando a identidade:
y(x,t)=0,08\\ \mathrm{m}\cdot \tfrac{1}{2}\Big(\sin(kx+\omega t)+\sin(kx-\omega t)\Big).
Calcule 0,08\cdot\tfrac{1}{2}=0,04. Logo
y(x,t)=0,04\\ \mathrm{m}\,\sin\big(kx+\omega t\big)+0,04\\ \mathrm{m}\,\sin\big(kx-\omega t\big).

Passo 4

Interpretação física e escolha das duas ondas viajantes: cada termo \sin(kx-\omega t) representa uma onda viajando no sentido positivo de x (para a direita) e \sin(kx+\omega t) representa uma onda viajando no sentido negativo de x (para a esquerda). Assim podemos tomar as duas ondas não estacionárias como
y_1(x,t)=0,04\\ \mathrm{m}\,\sin\!\big(kx-\omega t\big)
e
y_2(x,t)=0,04\\ \mathrm{m}\,\sin\!\big(kx+\omega t\big),
com os mesmos k e \omega já dados. Se somarmos y_1+y_2 voltamos à expressão original da onda estacionária (ver Passo 3), portanto estão corretas.

Passo 5

Verificação numérica rápida (checagem): para confirmar, substituímos k e \omega:
k=\frac{3\pi}{2}\\ \mathrm{m}^{-1},\qquad \omega=10\pi\\ \mathrm{s}^{-1},
então as duas ondas ficam explicitamente como em seguida. Como comentário extra útil na prova: a velocidade de fase de cada onda viajante é
v=\frac{\omega}{k}=\frac{10\pi}{3\pi/2}=\frac{10\pi\cdot 2}{3\pi}=\frac{20}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 6,67\\ \mathrm{m/s},
mas isso é só um detalhe adicional — não muda as expressões das ondas.

Resposta

y_1(x,t)=0,04\\ \mathrm{m}\,\sin\!\left[\left(\frac{3\pi}{2}\\ \mathrm{m}^{-1}\right)x-\left(10\pi\\ \mathrm{s}^{-1}\right)t\right]\n
y_2(x,t)=0,04\\ \mathrm{m}\,\sin\!\left[\left(\frac{3\pi}{2}\\ \mathrm{m}^{-1}\right)x+\left(10\pi\\ \mathrm{s}^{-1}\right)t\right]

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