Uma onda estacionária em uma corda é representada pela seguinte função de onda:
y(x, t)=0,5 \operatorname{sen}(0,025 x) \cos (500 t)
, escreva a função de onda de duas ondas harmōnicas que superpostas, provocam essa onda estacionária. Qual a distancia entre os nós da onda estacionária. Qual a aceleração de um segmento da corda em \mathrm{x}=1 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda estacionária na corda
y(x,t)=0,5\sin\bigl(0,025\,x\bigr)\cos\bigl(500\,t\bigr)
O conteúdo aqui é que essa onda estacionária pode ser vista como superposição de duas ondas harmônicas viajantes de número de onda k=0,025\\ \mathrm{rad/m} e frequência angular \omega=500\\ \mathrm{rad/s}. Vamos achar essas duas ondas, depois calcular a distância entre os nós e, por fim, a aceleração em x=1\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Duas ondas harmônicas viajantes com mesma amplitude A, mesmo k e mesma \omega mas direções opostas são
y_1(x,t)=A\sin\bigl(kx-\omega t\bigr), \quad y_2(x,t)=A\sin\bigl(kx+\omega t\bigr).
Pela identidade trigonométrica
y_1+y_2=2A\sin(kx)\cos(\omega t),
que deve coincidir com
0,5\sin(kx)\cos(\omega t).
Logo 2A=0,5, ou seja A=0,25. Portanto
y_1(x,t)=0,25\sin\bigl(0,025x-500t\bigr), \quad y_2(x,t)=0,25\sin\bigl(0,025x+500t\bigr).

Passo 3

Os nós da onda estacionária ocorrem onde \sin(kx)=0, ou seja
kx_n=n\pi \quad\Rightarrow\quad x_n=\frac{n\pi}{k}.
A distância entre nós sucessivos é
\Delta x = \frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{0,025}\approx125{,}66\\ \mathrm{m}.

Passo 4

A aceleração de um ponto da corda é a derivada segunda em relação ao tempo:
a(x,t)=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} =-0,5\,\omega^2\sin\bigl(kx\bigr)\cos\bigl(\omega t\bigr).
Em x=1\\ \mathrm{m} temos \sin(0,025\cdot1)=\sin(0,025)\approx0,025. Logo
a(1,t)=-0,5\,(500)^2\,\sin(0,025)\,\cos(500t) \approx-3125\cos(500t)\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

As duas ondas viajantes são
y_1(x,t)=0,25\sin\bigl(0,025x-500t\bigr), \quad y_2(x,t)=0,25\sin\bigl(0,025x+500t\bigr).
A distância entre nós é \Delta x\approx125{,}66\\ \mathrm{m}.
A aceleração em x=1\\ \mathrm{m} é
a(1,t)\approx-3125\cos(500t)\\ \mathrm{m/s^2}.

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