Uma onda harmônica plana se propaga no espaço livre e tem as componentes do campo elétrico nas direções \hat{x}, \hat{y} e \hat{z} dadas por E_{x}=10 \cos \left\{8 \pi \times 10^{14}\left[\left(z / c_{0}\right)+t\right]\right\} \mathrm{V} / \mathrm{m} e E_{y}=E_{z}=0. Considere as dimensões no SI. Determine:
a) A amplitude do campo elétrico da onda;
b) A direção e sentido do fluxo de energia;
c) A frequência em Hz;
d) O comprimento de onda. Considere o índice de refração do ar (n=1). A velocidade da luz no espaço livre ( c_{0}=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}) e a permissividade ( \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m}).

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda harmônica plana no vácuo com campo elétrico \displaystyle E_x = 10\cos\bigl\{8\pi\times10^{14}\,[ (z/c_0)+t]\bigr\}\,\mathrm{V/m}, E_y=E_z=0.
Pede-se:
a) amplitude do campo elétrico;
b) direção e sentido do fluxo de energia (vetor de Poynting);
c) frequência em hertz;
d) comprimento de onda, sabendo n=1, c_0=3\times10^8\\ \mathrm{m/s}.
Conteúdos necessários: identificação da amplitude, análise do argumento de fase para achar o sentido de propagação e, em seguida, uso de \omega=2\pi f e \lambda=c/(n f).

Passo 2

A amplitude do campo elétrico é simplesmente o coeficiente multiplicando o cosseno, ou seja
E_0 = 10\\ \mathrm{V/m}.

Passo 3

O argumento da função cosseno é
8\pi\times10^{14}\bigl(\tfrac{z}{c_0}+t\bigr)=\omega t + k z
com \omega=8\pi\times10^{14}\\ \mathrm{rad/s} e k=\omega/c_0.
Como aparece \omega t + k z (e não \omega t - k z), a onda se propaga no sentido negativo de z.
O vetor de Poynting é \mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H e aponta no mesmo sentido da propagação, logo
direção e sentido do fluxo de energia: eixo -\hat z.

Passo 4

O valor de \omega é
\omega = 8\pi\times10^{14}\\ \mathrm{rad/s}.
Logo a frequência em hertz é
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{8\pi\times10^{14}}{2\pi} = 4\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

O comprimento de onda em meio de índice n=1 vale
\lambda = \frac{c_0}{n\,f} = \frac{3\times10^8}{1\cdot4\times10^{14}} = 7{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) E_0 = 10\\ \mathrm{V/m}.
b) Fluxo de energia na direção -\hat z.
c) f = 4\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
d) \lambda = 7{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

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