Uma onda luminosa se propaga em uma nanoestrutura com 1500 nm de comprimento. Quando um pico da onda está em uma das extremidades da nanoestrutura, existe um pico ou um vale na outra extremidade se o comprimento de onda é (a) 500 nm ; (b) 1000 nm ?
Passo 1
O enunciado fornece uma nanoestrutura de comprimento
e pergunta, nos dois casos abaixo, se quando há um pico da onda em uma extremidade haverá um pico ou um vale na outra extremidade:
(a) comprimento de onda
(b) comprimento de onda
Informações relevantes: o comprimento da estrutura é ; os comprimentos de onda testados são
e
. A pergunta é sobre a fase relativa entre as duas extremidades quando em uma extremidade existe um pico.
(a) comprimento de onda
(b) comprimento de onda
Informações relevantes: o comprimento da estrutura é
Passo 2
Vamos entender o que determina se as extremidades estão em pico ou em vale. Considere uma onda harmônica viajante unidimensional escrita como
onde
é a amplitude,
é o número de onda,
é a frequência angular e
é uma fase inicial. O número de onda
está relacionado ao comprimento de onda por
A diferença de fase entre dois pontos separados por uma distância
é
Se em
houver um pico num certo instante
, então a fase efetiva naquele instante é congruente a
módulo
. O valor da onda na outra extremidade
naquele mesmo instante será proporcional a
. Portanto:
- Se
(com inteiro), então e há um pico (mesma fase). - Se
(com inteiro), então e há um vale (fase oposta). - Se
for outro valor, não será exatamente pico nem vale (cruzamento ou algo intermediário).
Passo 3
Agora aplicamos isso ao caso (a)
. Calcule a diferença de fase:
Observe que
, ou seja,
é um múltiplo inteiro de
. Então
e a extremidade oposta está em fase com a primeira extremidade — ou seja, há um pico também na outra extremidade.
Passo 4
Agora o caso (b)
. Calcule a diferença de fase:
Escrevendo
, vemos que
é da forma
. Então
e a extremidade oposta está em fase oposta — ou seja, há um vale quando a primeira extremidade tem um pico.
Passo 5
Intuição rápida: quando o comprimento
é um múltiplo inteiro de
(aqui
para
), pontos separados por
oscilam juntos (pico–pico). Quando
é um múltiplo de
mais meia-onda (aqui
para
), um ponto está no pico enquanto o outro está no vale. Isso é só manipular a diferença de fase
.
Resposta
(a) Pico
(b) Vale
(b) Vale