Pesquise as expressões para o primeiro máximo, o segundo mínimo e segundo máximo de difração por uma abertura circular.

Passo 1

O que o enunciado pede: quero as expressões (posições angulares) para (a) o primeiro máximo, (b) o segundo mínimo e (c) o segundo máximo da difração por uma abertura circular.
Informações relevantes que vou usar (sem resolver ainda): comprimento de onda \lambda, diâmetro da abertura D (ou raio a=D/2), e que a figura de difração de Fraunhofer de uma abertura circular é a chamada padrão de Airy, cuja intensidade depende de funções de Bessel. Não há outros dados numéricos no enunciado, então as posições serão dadas em função de \lambda e D (ou de constantes numéricas obtidas das raízes de funções de Bessel).

Passo 2

Apresentando a fórmula básica (essa é a peça central que precisamos): a intensidade irradiada no padrão de difração em função do ângulo \theta (em oposição ao eixo óptico) é proporcional à função de Airy
I(\theta)=I_0\left[\frac{2J_1(x)}{x}\right]^2,
onde J_1 é a função de Bessel de primeira ordem e definimos a variável adimensional
x = \frac{\pi D}{\lambda}\sin\theta.
Aqui: I_0 é a intensidade central máxima (constante de escala), D é o diâmetro da abertura, \lambda é o comprimento de onda e x é a variável que combina \theta,\\ D,\\ \lambda. Esta fórmula é o ponto de partida para achar minimos e máximos.

Passo 3

Posições dos mínimos (anulação da intensidade): a intensidade fica nula sempre que J_1(x)=0, porque então o numerador da fração é zero. Ou seja, os mínimos ocorrem para valores x_n que satisfazem
J_1(x_n)=0.
As primeiras raízes conhecidas de J_1 (valores numéricos) são
x_1\approx 3{,}83170597,\qquad x_2\approx 7{,}01558667,\qquad x_3\approx 10{,}17346814,\\ \ldots
A conversão para ângulo é dada por
\sin\theta_n=\frac{x_n\,\lambda}{\pi D},
e, no limite de pequenos ângulos (usado com frequência), \theta_n\approx x_n\lambda/(\pi D). Assim o segundo mínimo (o pedido) corresponde a x_2 acima, ou seja
\sin\theta_{2,\text{min}}=\frac{7{,}01558667\,\lambda}{\pi D}\quad\text{(exatamente em termos de }x_2\text{).}

Passo 4

Posições dos máximos (extremos da função): os máximos e mínimos da intensidade (entre as raízes) são obtidos anulando a derivada de I em relação a x. Como I\propto \big(J_1(x)/x\big)^2, basta achar os extremos de
f(x)=\frac{J_1(x)}{x}.
Derivando,
f'(x)=\frac{xJ_1'(x)-J_1(x)}{x^2},
logo os extremos satisfazem
xJ_1'(x)-J_1(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad xJ_1'(x)=J_1(x).
Usando a identidade de Bessel (xJ_1(x))'=xJ_0(x) (ou manipulando identidades), essa condição pode ser reescrita como
xJ_0(x)=2J_1(x),
mas a forma prática é a equação acima cuja solução numérica fornece as posições dos máximos. As soluções numéricas (além do máximo central em x=0) são
x_{\text{max},1}\approx 5{,}13562222,\qquad x_{\text{max},2}\approx 8{,}41724414,\\ \ldots
Aqui x_{\text{max},1} é a primeira máxima secundária (primeira anel brilhante), x_{\text{max},2} é a segunda máxima secundária (o que o enunciado chama de “segundo máximo”). A conversão para ângulo é idêntica à dos mínimos:
\sin\theta_{\text{max}}=\frac{x_{\text{max}}\,\lambda}{\pi D},\qquad \theta_{\text{max}}\approx \frac{x_{\text{max}}\,\lambda}{\pi D}\\ \text{(pequenos ângulos).}â

Passo 5

Recapitulando quais valores numéricos usamos (resumindo para não se perder): as constantes adimensionais que definem as posições são
\begin{aligned} &\text{mínimos: }x_1\approx 3{,}83170597,\quad x_2\approx 7{,}01558667,\\\ &\text{máximos (não central): }x_{\text{max},1}\approx 5{,}13562222,\quad x_{\text{max},2}\approx 8{,}41724414. \end{aligned}íáã
Assim, para qualquer D e \lambda você obtém as posições angulares substituindo na fórmula \sin\theta = x\,\lambda/(\pi D) e, se \theta for pequeno, usando a aproximação \theta\approx x\lambda/(\pi D).

Resposta

Primeiro máximo (central): \theta=0
Segundo mínimo: \displaystyle \sin\theta_{2,\text{min}}=\frac{7{,}01558667\,\lambda}{\pi D}\quad\Rightarrow\quad \theta_{2,\text{min}}\approx 2{,}233\,\frac{\lambda}{D}
Segundo máximo: \displaystyle \sin\theta_{2,\text{max}}=\frac{8{,}41724414\,\lambda}{\pi D}\quad\Rightarrow\quad \theta_{2,\text{max}}\approx 2{,}678\,\frac{\lambda}{D}

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