Pesquise as expressões para o primeiro máximo, o segundo mínimo e segundo máximo de difração por uma abertura circular.
Passo 1
O que o enunciado pede: quero as expressões (posições angulares) para (a) o primeiro máximo, (b) o segundo mínimo e (c) o segundo máximo da difração por uma abertura circular.
Informações relevantes que vou usar (sem resolver ainda): comprimento de onda , diâmetro da abertura
(ou raio
), e que a figura de difração de Fraunhofer de uma abertura circular é a chamada padrão de Airy, cuja intensidade depende de funções de Bessel. Não há outros dados numéricos no enunciado, então as posições serão dadas em função de
e
(ou de constantes numéricas obtidas das raízes de funções de Bessel).
Informações relevantes que vou usar (sem resolver ainda): comprimento de onda
Passo 2
Apresentando a fórmula básica (essa é a peça central que precisamos): a intensidade irradiada no padrão de difração em função do ângulo
(em oposição ao eixo óptico) é proporcional à função de Airy
onde
é a função de Bessel de primeira ordem e definimos a variável adimensional
Aqui:
é a intensidade central máxima (constante de escala),
é o diâmetro da abertura,
é o comprimento de onda e
é a variável que combina
. Esta fórmula é o ponto de partida para achar minimos e máximos.
Passo 3
Posições dos mínimos (anulação da intensidade): a intensidade fica nula sempre que
, porque então o numerador da fração é zero. Ou seja, os mínimos ocorrem para valores
que satisfazem
As primeiras raízes conhecidas de
(valores numéricos) são
A conversão para ângulo é dada por
e, no limite de pequenos ângulos (usado com frequência),
. Assim o segundo mínimo (o pedido) corresponde a
acima, ou seja
Passo 4
Posições dos máximos (extremos da função): os máximos e mínimos da intensidade (entre as raízes) são obtidos anulando a derivada de
em relação a
. Como
, basta achar os extremos de
Derivando,
logo os extremos satisfazem
Usando a identidade de Bessel
(ou manipulando identidades), essa condição pode ser reescrita como
mas a forma prática é a equação acima cuja solução numérica fornece as posições dos máximos. As soluções numéricas (além do máximo central em
) são
Aqui
é a primeira máxima secundária (primeira anel brilhante),
é a segunda máxima secundária (o que o enunciado chama de “segundo máximo”). A conversão para ângulo é idêntica à dos mínimos:
Passo 5
Recapitulando quais valores numéricos usamos (resumindo para não se perder): as constantes adimensionais que definem as posições são
Assim, para qualquer
e
você obtém as posições angulares substituindo na fórmula
e, se
for pequeno, usando a aproximação
.
Resposta
Primeiro máximo (central):
Segundo mínimo:
Segundo máximo: