Explique o que ocorre com a intensidade das franjas quando “a” (a largura das fendas) de um experimento de dupla fenda tende a zero. E qual a relação com a expressão da intensidade das franjas de interferência que vimos.
Passo 1
O enunciado pergunta o que acontece com a intensidade das franjas quando a largura das fendas,
, tende a zero, e pede a relação disso com a expressão da intensidade das franjas de interferência que vocês viram. Informações relevantes que eu vou usar (implícitas no enunciado e num típico experimento de dupla fenda): cada fenda tem largura
, as fendas estão separadas por distância (centro a centro)
, a luz tem comprimento de onda
e o padrão é observado num ecrã distante sob ângulo
. A questão pede: descrever o que acontece com a intensidade das franjas quando
e relacionar isso à expressão matemática da intensidade.
Passo 2
Vou escrever a fórmula padrão de intensidade para dupla fenda com fendas de largura finita (resultado clássico, que combina interferência entre as fendas e difração de cada fenda). A intensidade observada como função do ângulo
é comumente escrita assim:
Agora explico cada termo e variável com calma:
-
é a intensidade luminosa observada no ângulo . -
é a intensidade máxima de referência (por exemplo, o máximo central quando duas fendas têm determinada largura — atenção: pode depender de se for definido como intensidade absoluta transmitida). -
é a parte de interferência entre as duas fendas (franjas regulares, com picos quando , inteiro). - O fator
é a envoltória de difração da fenda individual (um ). Ele modula a amplitude das franjas de interferência, criando uma “envelope” que anula ou reduz algumas franjas quando atinge certos valores.
Passo 3
Agora vou analisar o limite
do fator da envoltória. Considere o argumento
Quando
, para qualquer
fixo, temos
. Conhecemos o limite clássico
Aplicando isso ao nosso fator de envelope obtemos
Ou seja: para qualquer ângulo fixo
, ao tornar
muito pequeno o fator de difração tende a 1 — a envoltória fica “plana” e deixa de modular as franjas. Matematicamente, a expressão da intensidade passa a ser
desde que
seja mantido fixo na definição (ver nota sobre intensidade absoluta no próximo passo).
Passo 4
Interpretação física direta (passo a passo e com empatia, tipo “amigo explicando”):
- O termo de difração de cada fenda tem largura angular aproximadamente da ordem de
. Se diminui, aumenta: a envoltória de difração se alarga. Quando essa envoltória fica tão larga que, na janela angular onde medimos as franjas de interferência, ela é praticamente constante (isto é, não “apaga” mais as franjas). Em linguagem simples: fendas muito estreitas têm difração muito forte e ampla; para ângulos pequenos a envoltória é praticamente igual a 1. - Portanto, as franjas de interferência (posições e espaçamento) permanecem, e passam a aparecer sem a modulação pela envoltória — ou seja, o padrão tende para o padrão de interferência de duas fontes pontuais, cuja intensidade varia como
do argumento.
Passo 5
Sobre a intensidade absoluta e conservação de energia — ponto que confunde muita gente:
- Se eu definir
como “intensidade máxima observada” para a fenda com largura dada, então geralmente depende de . Se a iluminância incidente por unidade de área é fixa, a amplitude da onda transmitida por cada fenda é proporcional à largura (área da abertura), e a intensidade (que é proporcional ao quadrado da amplitude) escala aproximadamente como (ou, em termos de potência transmitida por fenda, proporcional a ). Então, se eu realmente reduzir mantendo o mesmo fluxo por unidade de área incidente, a intensidade absoluta das franjas diminui — elas ficam mais fracas, até desaparecer no limite prático por falta de luz. - Em contraste, se eu “normalizar” o padrão (dividir por
que eu reescale para 1), o formato do padrão tende para o puro sem envelope. Em resumo: o formato (contraste, posição e espaçamento das franjas) tende para o padrão de duas fontes pontuais; a intensidade absoluta tende a zero se eu não compensar a perda de área transmitida.
Passo 6
Condições dos máximos e largura das franjas — o que NÃO muda quando
:
- As posições angulares dos máximos de interferência vêm da condição de máxima do termo
, ou seja Isso não depende de . Portanto o espaçamento angula entre franjas (aproximadamente para pequenas ) permanece inalterado quando varia. - O contraste (visibilidade) ideal entre máximos e mínimos também permanece alto se as duas fendas são idênticas e perfeitamente coerentes — reduzir
igualmente em ambas não altera a relação de amplitudes, então a visibilidade teórica continua próxima de 1. Na prática, ruído e pouca luz reduzem a observabilidade.
Passo 7
Resumo final didático e um exemplo mental:
- Imagine duas aberturas que viram dois “pontos” à medida que eu as estreito. O padrão no ecrã passa a ser o clássico de duas fontes pontuais: franjas igualmente espaçadas com intensidade proporcional a
do termo de fase entre as fontes. - Se antes havia uma envoltória que anulava algumas franjas (por exemplo, zeros quando
, ), ao ir para esses zeros se afastam para ângulos muito grandes e deixam de aparecer no campo observado — na prática, desaparecem. - Exemplo numérico mental: se
é tal que rad, a envoltória é estreita e apaga muitas franjas; se for 100 vezes menor, rad e a envoltória é praticamente constante no intervalo de interesse, então vemos apenas o padrão de interferência puro.
Resposta
Quando
, o fator de difração individual
tende a
para todo
fixo, de modo que a expressão da intensidade tende para a forma de interferência de duas fontes pontuais
Isto significa que a envoltória de difração desaparece (ou fica plana) e restam as franjas de interferência sem modulação pela fenda. Entretanto, a intensidade absoluta transmitida tende a diminuir se a energia incidente por unidade de área for mantida (porque fendas mais estreitas permitem passar menos luz), logo as franjas ficam geometricamente iguais (mesmo espaçamento e contraste teórico) mas mais fracas em intensidade total.