Explique o que ocorre com a intensidade das franjas quando “a” (a largura das fendas) de um experimento de dupla fenda tende a zero. E qual a relação com a expressão da intensidade das franjas de interferência que vimos.

Passo 1

O enunciado pergunta o que acontece com a intensidade das franjas quando a largura das fendas, a, tende a zero, e pede a relação disso com a expressão da intensidade das franjas de interferência que vocês viram. Informações relevantes que eu vou usar (implícitas no enunciado e num típico experimento de dupla fenda): cada fenda tem largura a, as fendas estão separadas por distância (centro a centro) d, a luz tem comprimento de onda \lambda e o padrão é observado num ecrã distante sob ângulo \theta. A questão pede: descrever o que acontece com a intensidade das franjas quando \,a\to0 e relacionar isso à expressão matemática da intensidade.

Passo 2

Vou escrever a fórmula padrão de intensidade para dupla fenda com fendas de largura finita (resultado clássico, que combina interferência entre as fendas e difração de cada fenda). A intensidade observada como função do ângulo \theta é comumente escrita assim:
I(\theta)=I_0\cos^2\!\biggl(\frac{\pi d \sin\theta}{\lambda}\biggr)\;\left[\frac{\sin\!\bigl(\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}\bigr)}{\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}}\right]^2.
Agora explico cada termo e variável com calma:
  • I(\theta) é a intensidade luminosa observada no ângulo \theta.
  • I_0 é a intensidade máxima de referência (por exemplo, o máximo central quando duas fendas têm determinada largura — atenção: I_0 pode depender de a se for definido como intensidade absoluta transmitida).
  • \cos^2\!\bigl(\frac{\pi d \sin\theta}{\lambda}\bigr) é a parte de interferência entre as duas fendas (franjas regulares, com picos quando d\sin\theta = m\lambda, m inteiro).
  • O fator \left[\frac{\sin\!\bigl(\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}\bigr)}{\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}}\right]^2é a envoltória de difração da fenda individual (um \mathrm{sinc}^2). Ele modula a amplitude das franjas de interferência, criando uma “envelope” que anula ou reduz algumas franjas quando \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda} atinge certos valores.

Passo 3

Agora vou analisar o limite \,a\to0 do fator da envoltória. Considere o argumento
x=\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}.
Quando a\to0, para qualquer \theta fixo, temos x\to0. Conhecemos o limite clássico
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Aplicando isso ao nosso fator de envelope obtemos
\lim_{a\to0}\left[\frac{\sin\!\bigl(\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}\bigr)}{\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}}\right]^2 = 1.
Ou seja: para qualquer ângulo fixo \theta, ao tornar a muito pequeno o fator de difração tende a 1 — a envoltória fica “plana” e deixa de modular as franjas. Matematicamente, a expressão da intensidade passa a ser
I(\theta)\to I_0\cos^2\!\biggl(\frac{\pi d \sin\theta}{\lambda}\biggr)\quad\text{quando}\quad a\to0,
desde que I_0 seja mantido fixo na definição (ver nota sobre intensidade absoluta no próximo passo).

Passo 4

Interpretação física direta (passo a passo e com empatia, tipo “amigo explicando”):
  • O termo de difração de cada fenda tem largura angular aproximadamente da ordem de \lambda/a. Se a diminui, \lambda/a aumenta: a envoltória de difração se alarga. Quando a\to0 essa envoltória fica tão larga que, na janela angular onde medimos as franjas de interferência, ela é praticamente constante (isto é, não “apaga” mais as franjas). Em linguagem simples: fendas muito estreitas têm difração muito forte e ampla; para ângulos pequenos a envoltória é praticamente igual a 1.
  • Portanto, as franjas de interferência (posições e espaçamento) permanecem, e passam a aparecer sem a modulação pela envoltória — ou seja, o padrão tende para o padrão de interferência de duas fontes pontuais, cuja intensidade varia como \cos^2 do argumento.

Passo 5

Sobre a intensidade absoluta e conservação de energia — ponto que confunde muita gente:
  • Se eu definir I_0 como “intensidade máxima observada” para a fenda com largura a dada, então I_0 geralmente depende de a. Se a iluminância incidente por unidade de área é fixa, a amplitude da onda transmitida por cada fenda é proporcional à largura a (área da abertura), e a intensidade (que é proporcional ao quadrado da amplitude) escala aproximadamente como a^2 (ou, em termos de potência transmitida por fenda, proporcional a a). Então, se eu realmente reduzir a mantendo o mesmo fluxo por unidade de área incidente, a intensidade absoluta das franjas diminui — elas ficam mais fracas, até desaparecer no limite prático por falta de luz.
  • Em contraste, se eu “normalizar” o padrão (dividir por I_0 que eu reescale para 1), o formato do padrão tende para o puro \cos^2 sem envelope. Em resumo: o formato (contraste, posição e espaçamento das franjas) tende para o padrão de duas fontes pontuais; a intensidade absoluta tende a zero se eu não compensar a perda de área transmitida.

Passo 6

Condições dos máximos e largura das franjas — o que NÃO muda quando a\to0:
  • As posições angulares dos máximos de interferência vêm da condição de máxima do termo \cos^2, ou seja d\sin\theta = m\lambda,\quad m\in\mathbb{Z}.Isso não depende de a. Portanto o espaçamento angula entre franjas (aproximadamente \Delta\theta \approx \lambda/d para pequenas \theta) permanece inalterado quando a varia.
  • O contraste (visibilidade) ideal entre máximos e mínimos também permanece alto se as duas fendas são idênticas e perfeitamente coerentes — reduzir a igualmente em ambas não altera a relação de amplitudes, então a visibilidade teórica continua próxima de 1. Na prática, ruído e pouca luz reduzem a observabilidade.

Passo 7

Resumo final didático e um exemplo mental:
  • Imagine duas aberturas que viram dois “pontos” à medida que eu as estreito. O padrão no ecrã passa a ser o clássico de duas fontes pontuais: franjas igualmente espaçadas com intensidade proporcional a \cos^2 do termo de fase entre as fontes.
  • Se antes havia uma envoltória que anulava algumas franjas (por exemplo, zeros quando \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda} = n\pi, n\neq0), ao ir para a\to0 esses zeros se afastam para ângulos muito grandes e deixam de aparecer no campo observado — na prática, desaparecem.
  • Exemplo numérico mental: se a é tal que \lambda/a=0,1 rad, a envoltória é estreita e apaga muitas franjas; se a for 100 vezes menor, \lambda/a=10 rad e a envoltória é praticamente constante no intervalo de interesse, então vemos apenas o padrão de interferência puro.

Resposta

Quando a\to0, o fator de difração individual
\left[\dfrac{\sin\!\bigl(\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}\bigr)}{\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}}\right]^2
tende a 1 para todo \theta fixo, de modo que a expressão da intensidade tende para a forma de interferência de duas fontes pontuais
I(\theta)\to I_0\cos^2\!\biggl(\frac{\pi d \sin\theta}{\lambda}\biggr).
Isto significa que a envoltória de difração desaparece (ou fica plana) e restam as franjas de interferência sem modulação pela fenda. Entretanto, a intensidade absoluta transmitida tende a diminuir se a energia incidente por unidade de área for mantida (porque fendas mais estreitas permitem passar menos luz), logo as franjas ficam geometricamente iguais (mesmo espaçamento e contraste teórico) mas mais fracas em intensidade total.

Exercícios relacionados