Uma onda plana em 10 MHz , viajando através de um material com perda se desloca a 2,5.10^8 m / s e sua amplitude é reduzida em 50 % a cada metro viajado. Ache alpha e beta. Resposta: alpha=0,69315[NP / m] e beta=0,25133[rad / m].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma onda plana de 10 MHz que está viajando através de um material que causa perda (ou seja, atenua a onda). A velocidade da onda nesse material é de 2,5 times 10^8 metros por segundo. Além disso, a amplitude da onda está sendo reduzida em 50% a cada metro que ela viaja. O que a gente precisa encontrar são os valores de alpha e beta, que representam, respectivamente, a atenuação e a constante de fase da onda.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a amplitude de uma onda se comporta em materiais que causam perda e como relacionar isso com a velocidade e frequência da onda para encontrar alpha e beta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de alpha, que é a constante de atenuação. Sabemos que a amplitude da onda está sendo reduzida em 50% a cada metro viajado. Isso significa que, para cada metro, a amplitude é multiplicada por 0,5.
A fórmula geral para a atenuação da amplitude em um meio com perda é:
A(x) = A0 cdot e^-alpha x
Onde:
  • A(x) é a amplitude no ponto x
  • A0 é a amplitude inicial
  • alpha é a constante de atenuação
  • x é a distância percorrida
Sabemos que A(x) = 0,5 A0 quando x = 1 metro. Vamos substituir esses valores na fórmula:
0,5 A0 = A0 cdot e^-alpha cdot 1
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por A0:
0,5 = e^-alpha
Para resolver para alpha, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
ln(0,5) = -alpha
Portanto:
alpha = -ln(0,5)
E como ln(0,5) = -ln(2), temos:
alpha = ln(2) approx 0,69315 , Np/m

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de beta, que é a constante de fase da onda. beta está relacionada à velocidade da onda e à sua frequência. A fórmula que relaciona beta é:
beta = 2pi fv
Onde:
  • f é a frequência da onda
  • v é a velocidade da onda
Dado que f = 10 , MHz = 10 times 10^6 , Hz e v = 2,5 times 10^8 , m/s, vamos substituir esses valores na fórmula:
beta = 2pi times 10 times 10^62,5 times 10^8

Passo 4

Vamos simplificar o cálculo:
beta = 2pi times 10 times 10^62,5 times 10^8 = 2pi times 10^72,5 times 10^8
Dividindo 10^7 por 2,5 times 10^8:
beta = 2pi times 10^72,5 times 10^8 = 2pi25 approx 0,25133 , rad/m

Resposta

alpha = 0,69315 , Np/m e beta = 0,25133 , rad/m

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