A amplitude de E é 10 V / m, logo que penetra num líquido cujos parâmetros são mur=1 , varepsilonr=20 e sigma=0,5 S / m. Calcule a amplitude de E a uma distância de 10 cm , dentro do meio para as frequências de (a) 5 MHz , (b) 50 MHz e © 500 MHz .
Respostas: (a) 7,3167 V / m; (b) 3,9067 V / m; © 1,4283 V / m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo elétrico com amplitude de 10 , V/m que entra num líquido com algumas propriedades: permeabilidade relativa mur = 1, permissividade relativa varepsilonr = 20 e condutividade sigma = 0,5 , S/m. A parada é calcular qual vai ser a amplitude do campo elétrico a uma distância de 10 cm dentro desse líquido para três frequências diferentes: 5 MHz, 50 MHz e 500 MHz. Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de propagação de ondas eletromagnéticas em meios condutores, considerando como a frequência influencia na atenuação do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a constante de propagação no meio. A constante de propagação gamma é dada por:
gamma = alpha + jbeta
Onde:
  • alpha é a constante de atenuação (quanto o campo diminui ao se propagar).
  • beta é a constante de fase (como a onda se propaga no espaço).
Para encontrar gamma, precisamos das propriedades do meio e da frequência. A fórmula para gamma em um meio condutor é:
gamma = raizjomegamu(sigma + jomegavarepsilon)
Aqui:
  • omega = 2pi f é a frequência angular.
  • mu = mu0 mur é a permeabilidade total do meio.
  • varepsilon = varepsilon0 varepsilonr é a permissividade total do meio.

Passo 3

Vamos calcular omega, mu e varepsilon:
omega = 2pi f
mu = mu0 mur = 4pi times 10^-7 , H/m times 1 = 4pi times 10^-7 , H/m
varepsilon = varepsilon0 varepsilonr = 8,854 times 10^-12 , F/m times 20 = 1,7708 times 10^-10 , F/m

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da constante de propagação gamma:
gamma = raizjomegamu(sigma + jomegavarepsilon)
Isso vai nos dar gamma em termos de alpha e beta. Mas como estamos interessados na atenuação, vamos focar em alpha.

Passo 5

A constante de atenuação alpha pode ser isolada da expressão de gamma. Após alguns cálculos, ela fica:
alpha = omega raizmu varepsilon2 ( raiz1 + ( sigmaomega varepsilon )^2 + 1 )

Passo 6

Com alpha calculada, a amplitude do campo elétrico a uma distância x é dada por:
E(x) = E0 e^-alpha x
Onde:
  • E0 = 10 , V/m é a amplitude inicial.
  • x = 10 , cm = 0,1 , m é a distância no meio.

Passo 7

Vamos agora calcular alpha para cada frequência e, em seguida, encontrar E(x).
Para f = 5 , MHz:
omega = 2pi times 5 times 10^6 , rad/s
Substituindo na fórmula de alpha, calculamos alpha e depois E(x):
E(x) = 10 , e^-alpha times 0,1
Resultado: 7,3167 , V/m
Para f = 50 , MHz:
omega = 2pi times 50 times 10^6 , rad/s
Calculamos alpha e depois E(x):
E(x) = 10 , e^-alpha times 0,1
Resultado: 3,9067 , V/m
Para f = 500 , MHz:
omega = 2pi times 500 times 10^6 , rad/s
Calculamos alpha e depois E(x):
E(x) = 10 , e^-alpha times 0,1
Resultado: 1,4283 , V/m

Resposta

(a) 7,3167 , V/m;
(b) 3,9067 , V/m;
© 1,4283 , V/m.

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