Uma onda plana com amplitude E_{0}=2,0[\mathrm{~V} / \mathrm{m}], cuja polarização é perpendicular ao plano de incidência, se propaga em um meio 1 caracterizado por \mu=\mu 0, \varepsilon=4 \varepsilon 0 e \sigma=0[\mathrm{~S} / \mathrm{m}]. Tal onda incide sobre o meio 2 com ângulo de 30^{\circ}. Sabendo-se que o meio 2 é caracterizado por \mu=\mu 0, \varepsilon= 9 \varepsilon 0 e \sigma=0[\mathrm{~S} / \mathrm{m}], calcule:
a) os coeficientes de reflexão e transmissão
b) as amplitudes das ondas transmitidas e refletidas

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana com amplitude E_{0}=2{,}0\\ [\mathrm{V}/\mathrm{m}] que incide do meio 1 sobre o meio 2 com ângulo de incidência \theta_{i}=30^\circ. A polarização é perpendicular ao plano de incidência (polarização s, também chamada TE). Os meios são:
  • Meio 1: \mu_{1}=\mu_{0},\\ \varepsilon_{1}=4\varepsilon_{0},\\ \sigma_{1}=0.
  • Meio 2: \mu_{2}=\mu_{0},\\ \varepsilon_{2}=9\varepsilon_{0},\\ \sigma_{2}=0.
Pede-se:
a) os coeficientes de reflexão e transmissão (vou apresentar os coeficientes de amplitude para o campo elétrico e, adicionalmente, os coeficientes de potência para comparação);
b) as amplitudes das ondas refletida e transmitida (isto é, E_{r} e E_{t}).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • E_{0}=2{,}0\\ \mathrm{V/m}.
  • \theta_{i}=30^\circ.
  • \varepsilon_{r1}=4 (portanto n_{1}=\sqrt{4}=2).
  • \varepsilon_{r2}=9 (portanto n_{2}=\sqrt{9}=3).
  • Meios não magnéticos: \mu_{r1}=\mu_{r2}=1.
  • Polarização s (perpendicular ao plano de incidência).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Índice de refração relativo: para meios não magnéticos \mu_{r}=1, n=\sqrt{\varepsilon_{r}}. Aqui n_{1}=2 e n_{2}=3.
  • Lei de Snell (para obter o ângulo de refração \theta_{t}):
n_{1}\sin\theta_{i}=n_{2}\sin\theta_{t}.
Essa relação vem do fato de que a componente tangencial do vetor de onda é preservada na interface.
  • Coeficientes de Fresnel para polarização s (perpendicular ao plano de incidência):
    • Coeficiente de reflexão (amplitude do campo elétrico):
    r_{s}=\frac{n_{1}\cos\theta_{i}-n_{2}\cos\theta_{t}}{n_{1}\cos\theta_{i}+n_{2}\cos\theta_{t}}.
    • Coeficiente de transmissão (amplitude do campo elétrico transmitido em meio 2, relativo ao incidente):
    t_{s}=\frac{2\,n_{1}\cos\theta_{i}}{n_{1}\cos\theta_{i}+n_{2}\cos\theta_{t}}.Essas fórmulas surgem aplicando as condições de contorno nas componentes tangenciais de \mathbf{E} e \mathbf{H} na interface.
  • Coeficientes de potência (reflexão e transmissão de intensidade/fluxo):
    • Potência refletida:
    R=|r_{s}|^{2}.
    • Potência transmitida:
    T=\frac{n_{2}\cos\theta_{t}}{n_{1}\cos\theta_{i}}\,|t_{s}|^{2},que leva em conta a mudança de impedância/fluxo entre meios; para meios sem perda essa expressão garante R+T=1 (conservação de energia).
  • Amplitudes das ondas refletida e transmitida:
E_{r}=r_{s}\,E_{0},\qquad E_{t}=t_{s}\,E_{0}.

Passo 3

Calcular n_{1} e n_{2} (já listados, mas aqui com justificativa):
n_{1}=\sqrt{\varepsilon_{r1}}=\sqrt{4}=2,\qquad n_{2}=\sqrt{\varepsilon_{r2}}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Calcular o ângulo de refração \theta_{t} usando Snell:
n_{1}\sin\theta_{i}=n_{2}\sin\theta_{t}
\sin\theta_{t}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\sin\theta_{i}=\frac{2}{3}\sin30^\circ=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}.
Logo
\sin\theta_{t}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad \cos\theta_{t}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta_{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Também usamos \cos\theta_{i}=\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Calcular os termos n_{1}\cos\theta_{i} e n_{2}\cos\theta_{t} de forma exata:
n_{1}\cos\theta_{i}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},
n_{2}\cos\theta_{t}=3\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}.
Essas formas exatas ajudam a manter boa precisão antes de arredondar.

Passo 6

Calcular o coeficiente de reflexão de amplitude r_{s}:
r_{s}=\frac{n_{1}\cos\theta_{i}-n_{2}\cos\theta_{t}}{n_{1}\cos\theta_{i}+n_{2}\cos\theta_{t}} =\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}.
Avaliação numérica:
\sqrt{3}\approx1{,}73205,\qquad 2\sqrt{2}\approx2{,}82843,
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r_{s}\approx\frac{1{,}73205-2{,}82843}{1{,}73205+2{,}82843}\approx\frac{-1{,}09638}{4{,}56048}\approx-0{,}2404.

Passo 7

Calcular o coeficiente de transmissão de amplitude t_{s}:
t_{s}=\frac{2\,n_{1}\cos\theta_{i}}{n_{1}\cos\theta_{i}+n_{2}\cos\theta_{t}} =\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}.
Avaliação numérica:
t_{s}\approx\frac{2\cdot1{,}73205}{4{,}56048}\approx\frac{3{,}46410}{4{,}56048}\approx0{,}7596.
Observação: o sinal negativo em r_{s} indica uma inversão de fase de \pi na componente refletida do campo elétrico.

Passo 8

Calcular as amplitudes das ondas refletida e transmitida a partir de E_{0}:
E_{r}=r_{s}E_{0}\approx(-0{,}2404)\cdot(2{,}0)= -0{,}4808\\ \mathrm{V/m},
E_{t}=t_{s}E_{0}\approx0{,}7596\cdot(2{,}0)=1{,}5192\\ \mathrm{V/m}.
O sinal negativo em E_{r} confirma a inversão de fase.

Passo 9

Calcular os coeficientes de potência R e T (verificação de conservação de energia):
R=|r_{s}|^{2}\approx(0{,}2404)^{2}\approx0{,}0578.
T=\frac{n_{2}\cos\theta_{t}}{n_{1}\cos\theta_{i}}\,|t_{s}|^{2} =\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\,t_{s}^{2}.
Avaliação numérica:
\frac{n_{2}\cos\theta_{t}}{n_{1}\cos\theta_{i}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\approx1{,}63299,
t_{s}^{2}\approx(0{,}7596)^{2}\approx0{,}5770,
T\approx1{,}63299\cdot0{,}5770\approx0{,}9422.
Verifica-se R+T\approx0{,}0578+0{,}9422\approx1{,}0000, compatível com conservação de energia (pequenas diferenças numéricas por arredondamento).

Resposta

a) \;r_{s}\approx-0{,}2404,\quad t_{s}\approx0{,}7596;\quad R\approx0{,}0578,\quad T\approx0{,}9422
b) \;E_{r}\approx-0{,}4808\\ \mathrm{V/m},\quad E_{t}\approx1{,}5192\\ \mathrm{V/m}

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