Seja uma onda que incide obliquamente sobre um bloco dielétrico ( \mu=\mu 0 ). Sabendo-se que \varepsilon_{2}=4 \varepsilon_{1} e que o ângulo de incidência é \theta_{i}=63,45^{\circ}, calcule:
a) os coeficientes de reflexão e transmissão;
b) o que ocorre com um dos coeficientes? Considere os meios como não-magnéticos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
  • Os meios são não magnéticos: \mu_1=\mu_2=\mu_0.
  • As permissividades satisfazem \varepsilon_2=4\varepsilon_1.
  • Ângulo de incidência \theta_i=63{,}45^\circ.
  • O problema pede os coeficientes de reflexão e de transmissão, e que se explique o que ocorre com um dos coeficientes.
O que o enunciado pede explicitamente:
  • (a) Calcular os coeficientes de reflexão e transmissão (aqui vou apresentar tanto os coeficientes de amplitude quanto os coeficientes de potência) para as duas polarizações usuais (polarização perpendicular/s (também chamada de “s”) e paralela/p (também chamada de “p”)).
  • (b) Explicar o que ocorre com um dos coeficientes (qual deles e por quê).

Passo 2

Primeiro vamos obter o índice de refração relativo e o ângulo de transmissão usando a lei de Snell. Explico devagar:
Definição útil: o índice de refração de um meio é n=\sqrt{\varepsilon\mu}. Como \mu_1=\mu_2, os índices são proporcionais às raízes das permissividades. Assim:
n_2=\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}}\,n_1=\sqrt{4}\,n_1=2\,n_1.
Lei de Snell (que relaciona ângulos de incidência e transmissão):
n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t.
Substituindo n_2=2n_1 obtemos:
\sin\theta_t=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i=\frac{1}{2}\sin\theta_i.
Agora calculamos numericamente \sin\theta_i e \theta_t. Note que \theta_i=63{,}45^\circ é aproximadamente \arctan 2; portanto
\sin\theta_i\approx 0{,}894427\quad\text{e}\quad\cos\theta_i\approx 0{,}447214.
Logo
\sin\theta_t=\frac{1}{2}\cdot 0{,}894427\approx 0{,}4472136,
o que dá
\theta_t\approx 26{,}565^\circ,
e
\cos\theta_t\approx 0{,}894427.
(Resumo numérico útil que usarei adiante: \sin\theta_i\approx 0{,}894427, \cos\theta_i\approx 0{,}447214, \sin\theta_t\approx 0{,}447214, \cos\theta_t\approx 0{,}894427.)

Passo 3

Agora introduzo as fórmulas de Fresnel para os coeficientes de amplitude (explico o que são):
  • Polarização s (elétrico perpendicular ao plano de incidência): o coeficiente de reflexão de amplitude r_s e de transmissão de amplitude t_s são dados por
r_s=\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t}, \qquad t_s=\frac{2n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t}.
  • Polarização p (elétrico paralelo ao plano de incidência): os coeficientes são
r_p=\frac{n_2\cos\theta_i-n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i+n_1\cos\theta_t}, \qquad t_p=\frac{2n_1\cos\theta_i}{n_2\cos\theta_i+n_1\cos\theta_t}.
Breve explicação do que essas fórmulas significam: r e t são razões entre amplitudes do campo elétrico refletido/transmitido e do incidente; sinais negativos significam inversão de fase. Para obter coeficientes de potência (fração da energia), vou usar fórmulas no passo seguinte.
Agora substituo n_2=2n_1 e os cossenos calculados.
Cálculo para s:
n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t = n_1(0{,}447214 + 2\cdot 0{,}894427)=n_1(0{,}447214+1{,}788854)=n_1(2{,}236068).
n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t = n_1(0{,}447214 - 1{,}788854)=n_1(-1{,}341640).
Portanto
r_s=\frac{-1{,}341640}{2{,}236068}\approx -0{,}6, \qquad t_s=\frac{2n_1\cdot 0{,}447214}{n_1\cdot 2{,}236068}=\frac{0{,}894427}{2{,}236068}\approx 0{,}4.
Cálculo para p:
n_2\cos\theta_i+n_1\cos\theta_t = n_1(2\cdot 0{,}447214 + 0{,}894427)=n_1(0{,}894427+0{,}894427)=n_1(1{,}788854),
n_2\cos\theta_i-n_1\cos\theta_t = n_1(0{,}894427 - 0{,}894427)=0.
Portanto
r_p=0, \qquad t_p=\frac{2n_1\cdot 0{,}447214}{n_1\cdot 1{,}788854}=\frac{0{,}894427}{1{,}788854}=0{,}5.
Interpretação dos sinais e magnitudes: para s temos reflexão com inversão de fase ( r_s<0) e transmissão menor que 1 em amplitude; para p o coeficiente de reflexão de amplitude é exatamente zero.

Passo 4

Agora convertemos para coeficientes de potência (o que realmente diz quanto da intensidade/energia é refletida ou transmitida). Regras:
  • Coeficiente de reflexão em potência:
R=|r|^2.
  • Coeficiente de transmissão em potência (energia transportada na direção normal considerada):
T=\frac{n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i}\,|t|^2.
(Essa expressão leva em conta as diferenças de impedância e direção entre meios.)
Calculo numérico para s:
R_s=|r_s|^2=(-0{,}6)^2=0{,}36,
T_s=\frac{n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i}\,|t_s|^2 =\frac{2n_1\cdot 0{,}894427}{n_1\cdot 0{,}447214}\,(0{,}4)^2 =4\cdot 0{,}16=0{,}64.
Verificação: R_s+T_s=0{,}36+0{,}64=1 (energia conservada).
Calculo numérico para p:
R_p=|r_p|^2=0,
T_p=\frac{n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i}\,|t_p|^2 =4\cdot (0{,}5)^2=4\cdot 0{,}25=1.
Verificação: R_p+T_p=0+1=1.

Passo 5

Explicação física do que ocorre com o coeficiente nulo (resposta do item b):
O coeficiente de reflexão para polarização p r_p é nulo porque o ângulo de incidência dado coincide com o ângulo de Brewster. A condição de Brewster para meios não magnéticos é
\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}.
Aqui \frac{n_2}{n_1}=2, então \theta_B=\arctan 2\approx 63{,}4349^\circ, que é o \theta_i fornecido. Quando \theta_i=\theta_B, a componente do campo paralelo não é refletida: a reflexão para p desaparece ( r_p=0) e toda a potência é transmitida ( T_p=1). Em termos práticos: para luz polarizada no plano de incidência § não há onda refletida — é o famoso efeito do ângulo de Brewster.
Observação final de exame: se a fonte estiver despolarizada, a componente s será parcialmente refletida (aqui R_s=0{,}36) enquanto a componente p será totalmente transmitida.

Resposta

(a) Coeficientes de amplitude:
r_s\approx -0{,}6,\qquad t_s\approx 0{,}4,
r_p=0,\qquad t_p=0{,}5.
(a) Coeficientes de potência (intensidade):
R_s\approx 0{,}36,\quad T_s\approx 0{,}64,
R_p=0,\quad T_p=1.
(b) O que ocorre com um dos coeficientes: r_p=0 — a reflexão para polarização paralela desaparece porque \theta_i coincide com o ângulo de Brewster ( \tan\theta_B=n_2/n_1=2), portanto toda a potência da componente p é transmitida.

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