1. Uma onda plana com amplitude E_{0}=2,0[\mathrm{~V} / \mathrm{m}], cuja polarização é perpendicular ao plano de incidência, se propaga em um meio 1 caracterizado por \mu=\mu 0, \varepsilon=4 \varepsilon 0 e \sigma=0[\mathrm{~S} / \mathrm{m}]. Tal onda incide sobre o meio 2 com ângulo de 30^{\circ}. Sabendo-se que o meio 2 é caracterizado por \mu=\mu 0, \varepsilon= 9 \varepsilon 0 e \sigma=0[\mathrm{~S} / \mathrm{m}], calcule:
b) as amplitudes das ondas transmitidas e refletidas

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Amplitude da onda incidente: E_{0}=2,0\\ \mathrm{V/m}.
  • Polarização perpendicular ao plano de incidência (polarização s, também chamada TE).
  • Meio 1: \mu=\mu_0, \varepsilon=4\varepsilon_0, \sigma=0\\ \mathrm{S/m}.
  • Meio 2: \mu=\mu_0, \varepsilon=9\varepsilon_0, \sigma=0\\ \mathrm{S/m}.
  • Ângulo de incidência: \theta_i=30^\circ.
O que se pede:
  • (b) as amplitudes das ondas transmitida e refletida (ou seja, E_t e E_r).

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo).
  1. Polarização s (perpendicular ao plano de incidência) — as fórmulas de Fresnel para coeficientes de amplitude são:
r_s=\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t}, \qquad t_s=\frac{2\,n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t},
onde r_s é o coeficiente de reflexão (razão E_r/E_i) e t_s é o coeficiente de transmissão (razão E_t/E_i) para o campo elétrico. Essas fórmulas vêm da aplicação das condições de contorno dos campos elétrico e magnético na interface entre dois dielétricos homogêneos e sem condutividade.
  1. Refractive index: definimos
n=\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{\mu_0\varepsilon_0}}.
Aqui ambos os meios têm \mu=\mu_0, então
n=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}}=\sqrt{\varepsilon_r},
onde \varepsilon_r é a permissividade relativa.
  1. Ângulo de transmissão \theta_t obtém-se pela lei de Snell:
n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_t.
Vou aplicar essas fórmulas com os dados numéricos a seguir.

Passo 3

Cálculo dos índices de refração e do ângulo de transmissão.
  1. Índices de refração:
n_1=\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_0}}=\sqrt{4}=2, \qquad n_2=\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_0}}=\sqrt{9}=3.
  1. Lei de Snell para \theta_t:
\sin\theta_t=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i=\frac{2}{3}\sin(30^\circ)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}.
Portanto \sin\theta_t=\tfrac{1}{3}. Então
\cos\theta_t=\sqrt{1-\sin^2\theta_t}=\sqrt{1-\left(\tfrac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{\tfrac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
  1. \cos\theta_i=\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Resumo numérico que usaremos:
n_1=2,\quad n_2=3,\quad \cos\theta_i=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\theta_t=\frac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 4

Cálculo do coeficiente de reflexão r_s (passo-a-passo algébrico e numérico).
Substituindo nas fórmulas:
r_s=\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t} = \frac{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-3\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+3\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}.
Agora uma avaliação numérica (aproximações intermediárias mostradas):
\sqrt{3}\approx1,73205,\qquad 2\sqrt{2}\approx2,82843,
r_s\approx\frac{1,73205-2,82843}{1,73205+2,82843}=\frac{-1,09638}{4,56048}\approx-0,2405.
O coeficiente de reflexão em amplitude é r_s\approx-0,2405. O sinal negativo indica que a onda refletida tem inversão de fase (deslocamento de \pi) em relação à incidente.
A amplitude do campo elétrico refletido é
E_r=r_s E_0\approx(-0,2405)\times 2,0\\ \mathrm{V/m}\approx -0,4810\\ \mathrm{V/m}.

Passo 5

Cálculo do coeficiente de transmissão t_s e amplitude transmitida.
Usando a fórmula:
t_s=\frac{2\,n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t} = \frac{2\cdot\left(2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}.
Avaliação numérica:
2\sqrt{3}\approx3,46410,\qquad \sqrt{3}+2\sqrt{2}\approx4,56048,
t_s\approx\frac{3,46410}{4,56048}\approx0,7595.
Assim,
E_t=t_s E_0\approx0,7595\times 2,0\\ \mathrm{V/m}\approx1,5190\\ \mathrm{V/m}.
Observação didática: t_s aqui é o coeficiente de amplitude do campo elétrico na onda transmitida (no meio 2) em relação à onda incidente. Note que E_t tem sinal positivo (sem inversão de fase) conforme o sinal de t_s.

Passo 6

Resumo físico e verificação rápida (para tirar dúvidas na prova).
  • A onda refletida tem amplitude menor que a incidente e invertida em fase: E_r\approx-0,4810\\ \mathrm{V/m}.
  • A onda transmitida tem amplitude reduzida mas positiva: E_t\approx1,5190\\ \mathrm{V/m}.
  • Esses valores foram obtidos usando Fresnel para polarização s, com índices n_1=2 e n_2=3 e \theta_t obtido por Snell ( \sin\theta_t=\tfrac{1}{3}).
    Se estiver na prova, mostre as substituições simbólicas como fiz aqui (isso demonstra entendimento).

Resposta

\,E_{\text{refletida}} = -0,4810\\ \mathrm{V/m}\n
\,E_{\text{transmitida}} = 1,5190\\ \mathrm{V/m}

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