- (2,5 pontos) Um guia de onda retangular com dimensões
e
opera abaixo de
. Quantos modos TE e TM podem ser transmitidos pelo guia se o mesmo é preenchido com um meio dielétrico caracterizado por
e
? Calcule a frequência de corte desses modos. Quais são os modos degenerados (de mesma frequência)?
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do enunciado:
- Dimensões do guia retangular:
e . - O guia opera abaixo de
. - Meio dielétrico com
(sem condutividade), (entendo como ) e (portanto ). - Velocidade da luz no vácuo
.
O enunciado pede:
- Quantos modos TE e quantos modos TM podem ser transmitidos pelo guia para frequências de operação até
? (ou seja, contar os modos cuja frequência de corte é menor que a frequência de operação). - Calcular a frequência de corte desses modos.
- Indicar quais são os modos degenerados (têm a mesma frequência de corte).
Observação: o enunciado não forneceu figura adicional; todos os dados necessários estão acima.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática).
- Em um guia retangular preenchido com material homogêneo de permitividade
e permeabilidade , os modos transversais são classificados por dois índices inteiros (número de variações das componentes do campo nas direções e do corte retangular). - O número de onda de corte é
Aqui:
-
são inteiros não-negativos, -
é a dimensão no eixo , -
é a dimensão no eixo . -
A frequência angular de corte é
. A frequência de corte (em Hz) é
Substituindo
obtemos, simplificando os
,
- Como
, podemos escrever a forma prática
-
Observações sobre índices
: - Para modos TE (Transverse Electric), é permitido
ou (mas não ambos simultaneamente). - Para modos TM (Transverse Magnetic), não é permitido que algum índice seja zero: exige-se
e . - O modo com
é inexistente.
- Para modos TE (Transverse Electric), é permitido
-
No nosso caso:
e , então . Assim
Como
, é útil trabalhar em GHz:
com
e
em metros. Para economizar contas, note que
e
.
Passo 3
Cálculo das frequências de corte para modos com índice zero (modos do tipo TE_{m0} e TE_{0n}), que são permitidos apenas para TE.
- Para
(com , ):
Logo valores específicos:
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
Para
(com , ):
Valores:
-
. -
. -
já teria (logo fora da faixa).
Passo 4
Cálculo das frequências de corte para modos com ambos índices não nulos (
). Estes existem tanto como TE quanto como TM e têm a mesma frequência de corte para um dado par
.
Usamos a fórmula numérica
Calculemos os primeiros pares
até ultrapassarmos
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
logo
não propaga na faixa considerada.
Agora verificação de alguns
:
-
deu . -
deu .
Portanto, entre os pares com ambos índices ≥1, os pares que têm
são:
Para cada um desses pares existem tanto
quanto
com a mesma frequência de corte calculada acima.
Passo 5
Agora contamos os modos que podem ser transmitidos (ou seja, aqueles com
; incluímos valores até
pois
).
TE:
- Modos
com : 6 modos ( ). - Modos
com : 2 modos ( ). - Modos
com que têm : os pares : 5 modos.
Total de modos TE presentes:
modos TE.
TM:
- Só existem quando
e . Dos pares testados, os que têm são : 5 pares. - Cada par corresponde a um modo TM. Logo há 5 modos TM.
Resumo da contagem:
- Modos TE que se propagam até
: 13. - Modos TM que se propagam até
: 5.
Passo 6
Identificação de modos degenerados (mesma frequência de corte) e explicação simples do porquê.
-
Para um mesmo par
com , os modos e têm a mesma expressão para . Portanto cada par listado em que existam ambos os modos produz uma degenerescência TE–TM. Assim: -
e são degenerados em . -
e são degenerados em . -
e são degenerados em . -
e são degenerados em . -
e são degenerados em .
-
-
Além disso, degenerescências entre modos distintos (com índices diferentes) ocorrem quando
coincide para pares distintos. No nosso caso particular, porque , temos situações especiais em que um modo com coincide com outro com multiplicado por 3: -
e têm ambas (porque ). -
e têm ambas .
-
Esses pares são degenerados porque
(no caso
com
).
Passo 7
Resumo final dos valores de corte calculados (para leitura rápida):
- Modos TE com
: - Modos TE com
: - Modos com ambos índices não nulos (TE e TM têm mesmos
): -
Agora, mão na massa para conferir a resposta final compacta.
Resposta
Número de modos TE que se propagam até
:
.
Número de modos TM que se propagam até
:
.
Frequências de corte (valores em GHz):
(igual a
)
(igual a
)
(igual a
)
(igual a
)
(igual a
)
Modos degenerados (mesma frequência de corte):
e
(ambos
);
e
(ambos
);
para cada par com
listado acima existe degenerescência TE–TM:
↔
(
),
↔
(
),
↔
(
),
↔
(
),
↔
(
).
para cada par