1. (2,5 pontos) Um guia de onda retangular com dimensões a=3 \mathrm{~cm} e b=1 \mathrm{~cm} opera abaixo de 15,1 \mathrm{GHz}. Quantos modos TE e TM podem ser transmitidos pelo guia se o mesmo é preenchido com um meio dielétrico caracterizado por \sigma_{d}=0, \mu_{t}=1 e \varepsilon= 4 \varepsilon_{0} ? Calcule a frequência de corte desses modos. Quais são os modos degenerados (de mesma frequência)?

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Dimensões do guia retangular: a=3\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m} e b=1\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • O guia opera abaixo de 15{,}1\\ \mathrm{GHz}.
  • Meio dielétrico com \sigma_{d}=0 (sem condutividade), \mu_{t}=1 (entendo como \mu_{r}=1) e \varepsilon=4\varepsilon_{0} (portanto \varepsilon_{r}=4).
  • Velocidade da luz no vácuo c_{0}=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
  1. Quantos modos TE e quantos modos TM podem ser transmitidos pelo guia para frequências de operação até 15{,}1\\ \mathrm{GHz}? (ou seja, contar os modos cuja frequência de corte é menor que a frequência de operação).
  2. Calcular a frequência de corte desses modos.
  3. Indicar quais são os modos degenerados (têm a mesma frequência de corte).
Observação: o enunciado não forneceu figura adicional; todos os dados necessários estão acima.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática).
  • Em um guia retangular preenchido com material homogêneo de permitividade \varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0} e permeabilidade \mu=\mu_{r}\mu_{0}, os modos transversais são classificados por dois índices inteiros m,n (número de variações das componentes do campo nas direções x e y do corte retangular).
  • O número de onda de corte é
k_{c,mn}=\sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n\pi}{b}\right)^{2}}.
Aqui:
  • m,n são inteiros não-negativos,
  • a é a dimensão no eixo x,
  • b é a dimensão no eixo y.
  • A frequência angular de corte é \omega_{c,mn}=\dfrac{k_{c,mn}}{\sqrt{\mu\varepsilon}}. A frequência de corte (em Hz) é
f_{c,mn}=\frac{\omega_{c,mn}}{2\pi}=\frac{k_{c,mn}}{2\pi\sqrt{\mu\varepsilon}}.
Substituindo k_{c,mn} obtemos, simplificando os \pi,
f_{c,mn}=\frac{1}{2\sqrt{\mu\varepsilon}}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n}{b}\right)^{2}}.
  • Como \sqrt{\mu\varepsilon}=\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}=\dfrac{1}{c_{0}}\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}, podemos escrever a forma prática
f_{c,mn}=\frac{c_{0}}{2}\,\frac{\sqrt{\left(\dfrac{m}{a}\right)^{2}+\left(\dfrac{n}{b}\right)^{2}}}{\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}}.
  • Observações sobre índices m,n:
    • Para modos TE (Transverse Electric), é permitido m=0 ou n=0 (mas não ambos simultaneamente).
    • Para modos TM (Transverse Magnetic), não é permitido que algum índice seja zero: exige-se m\ge1 e n\ge1.
    • O modo com m=n=0 é inexistente.
  • No nosso caso: \varepsilon_{r}=4 e \mu_{r}=1, então \sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}=\sqrt{4}=2. Assim
f_{c,mn}=\frac{c_{0}}{4}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n}{b}\right)^{2}}.
Como c_{0}/4=3\times10^{8}/4=7{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}, é útil trabalhar em GHz:
f_{c,mn}(\mathrm{GHz})=0{,}075\;\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n}{b}\right)^{2}},
com a e b em metros. Para economizar contas, note que \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{0{,}03}=33{,}333\\ \mathrm{m^{-1}} e \dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{0{,}01}=100\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 3

Cálculo das frequências de corte para modos com índice zero (modos do tipo TE_{m0} e TE_{0n}), que são permitidos apenas para TE.
  • Para \mathrm{TE}_{m0} (com n=0, m\ge1):
f_{c,m0}=0{,}075\;\sqrt{\left(\frac{m}{0{,}03}\right)^{2}}=0{,}075\cdot\frac{m}{0{,}03}=0{,}075\cdot 33{,}333\;m=2{,}5\\ m\\ \text{(GHz)}.
Logo valores específicos:
  • \mathrm{TE}_{10}:\\ f_{c}=2{,}5\\ \mathrm{GHz}.
  • \mathrm{TE}_{20}:\\ f_{c}=5{,}0\\ \mathrm{GHz}.
  • \mathrm{TE}_{30}:\\ f_{c}=7{,}5\\ \mathrm{GHz}.
  • \mathrm{TE}_{40}:\\ f_{c}=10{,}0\\ \mathrm{GHz}.
  • \mathrm{TE}_{50}:\\ f_{c}=12{,}5\\ \mathrm{GHz}.
  • \mathrm{TE}_{60}:\\ f_{c}=15{,}0\\ \mathrm{GHz}.
  • Para \mathrm{TE}_{0n} (com m=0, n\ge1):
f_{c,0n}=0{,}075\;\sqrt{\left(\frac{n}{0{,}01}\right)^{2}}=0{,}075\cdot\frac{n}{0{,}01}=0{,}075\cdot 100\;n=7{,}5\\ n\\ \text{(GHz)}.
Valores:
  • \mathrm{TE}_{01}:\\ f_{c}=7{,}5\\ \mathrm{GHz}.
  • \mathrm{TE}_{02}:\\ f_{c}=15{,}0\\ \mathrm{GHz}.
  • \mathrm{TE}_{03} já teria f_{c}=22{,}5\\ \mathrm{GHz}>15{,}1\\ \mathrm{GHz} (logo fora da faixa).

Passo 4

Cálculo das frequências de corte para modos com ambos índices não nulos ( m\ge1,\\ n\ge1). Estes existem tanto como TE quanto como TM e têm a mesma frequência de corte para um dado par (m,n).
Usamos a fórmula numérica
f_{c,mn}(\mathrm{GHz})=0{,}075\sqrt{(33{,}333\,m)^{2}+(100\,n)^{2}} =0{,}075\sqrt{1111{,}111\,m^{2}+10000\,n^{2}}.
Calculemos os primeiros pares (m,n) até ultrapassarmos 15{,}1\\ \mathrm{GHz}:
  • (1,1):
\sqrt{1111{,}111\cdot1^{2}+10000\cdot1^{2}}=\sqrt{11111{,}111}\approx105{,}409,
f_{c,11}=0{,}075\cdot105{,}409\approx7{,}906\\ \mathrm{GHz}.
  • (2,1):
\sqrt{4444{,}444+10000}=\sqrt{14444{,}444}\approx120{,}185,
f_{c,21}=0{,}075\cdot120{,}185\approx9{,}014\\ \mathrm{GHz}.
  • (3,1):
\sqrt{10000+10000}=\sqrt{20000}\approx141{,}421,
f_{c,31}=0{,}075\cdot141{,}421\approx10{,}606\\ \mathrm{GHz}.
  • (4,1):
\sqrt{17777{,}776+10000}=\sqrt{27777{,}776}\approx166{,}667,
f_{c,41}=0{,}075\cdot166{,}667\approx12{,}500\\ \mathrm{GHz}.
  • (5,1):
\sqrt{27777{,}775+10000}=\sqrt{37777{,}775}\approx194{,}365,
f_{c,51}=0{,}075\cdot194{,}365\approx14{,}578\\ \mathrm{GHz}.
  • (6,1):
\sqrt{40000+10000}=\sqrt{50000}\approx223{,}607,
f_{c,61}=0{,}075\cdot223{,}607\approx16{,}770\\ \mathrm{GHz}>15{,}1\\ \mathrm{GHz},
logo (6,1) não propaga na faixa considerada.
Agora verificação de alguns (m,2):
  • (1,2) deu \approx15{,}207\\ \mathrm{GHz}>15{,}1\\ \mathrm{GHz}.
  • (2,2) deu \approx15{,}811\\ \mathrm{GHz}>15{,}1\\ \mathrm{GHz}.
Portanto, entre os pares com ambos índices ≥1, os pares que têm f_{c}<15{,}1\\ \mathrm{GHz} são:
(1,1),\\ (2,1),\\ (3,1),\\ (4,1),\\ (5,1).
Para cada um desses pares existem tanto \mathrm{TE}_{mn} quanto \mathrm{TM}_{mn} com a mesma frequência de corte calculada acima.

Passo 5

Agora contamos os modos que podem ser transmitidos (ou seja, aqueles com f_{c}\le 15{,}1\\ \mathrm{GHz}; incluímos valores até 15{,}0\\ \mathrm{GHz} pois 15{,}0<15{,}1).
TE:
  • Modos \mathrm{TE}_{m0} com m=1,2,3,4,5,6: 6 modos ( f_{c}=2{,}5;\\\ 5{,}0;\\\ 7{,}5;\\\ 10{,}0;\\\ 12{,}5;\\\ 15{,}0\\ \mathrm{GHz}).
  • Modos \mathrm{TE}_{0n} com n=1,2: 2 modos ( f_{c}=7{,}5;\\\ 15{,}0\\ \mathrm{GHz}).
  • Modos \mathrm{TE}_{mn} com m\ge1,n\ge1 que têm f_{c}<15{,}1: os pares (1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1): 5 modos.
Total de modos TE presentes: 6+2+5=13 modos TE.
TM:
  • Só existem quando m\ge1 e n\ge1. Dos pares testados, os que têm f_{c}<15{,}1 são (1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1): 5 pares.
  • Cada par corresponde a um modo TM. Logo há 5 modos TM.
Resumo da contagem:
  • Modos TE que se propagam até 15{,}1\\ \mathrm{GHz}: 13.
  • Modos TM que se propagam até 15{,}1\\ \mathrm{GHz}: 5.

Passo 6

Identificação de modos degenerados (mesma frequência de corte) e explicação simples do porquê.
  • Para um mesmo par (m,n) com m\ge1,n\ge1, os modos \mathrm{TE}_{mn} e \mathrm{TM}_{mn} têm a mesma expressão para f_{c,mn}. Portanto cada par (m,n) listado em que existam ambos os modos produz uma degenerescência TE–TM. Assim:
    • \mathrm{TE}_{11} e \mathrm{TM}_{11} são degenerados em f_{c}\approx7{,}906\\ \mathrm{GHz}.
    • \mathrm{TE}_{21} e \mathrm{TM}_{21} são degenerados em f_{c}\approx9{,}014\\ \mathrm{GHz}.
    • \mathrm{TE}_{31} e \mathrm{TM}_{31} são degenerados em f_{c}\approx10{,}606\\ \mathrm{GHz}.
    • \mathrm{TE}_{41} e \mathrm{TM}_{41} são degenerados em f_{c}=12{,}500\\ \mathrm{GHz}.
    • \mathrm{TE}_{51} e \mathrm{TM}_{51} são degenerados em f_{c}\approx14{,}578\\ \mathrm{GHz}.
  • Além disso, degenerescências entre modos distintos (com índices diferentes) ocorrem quando \sqrt{(m/a)^{2}+(n/b)^{2}} coincide para pares distintos. No nosso caso particular, porque a/b=3, temos situações especiais em que um modo com n=0 coincide com outro com m=0 multiplicado por 3:
    • \mathrm{TE}_{30} e \mathrm{TE}_{01} têm ambas f_{c}=7{,}5\\ \mathrm{GHz} (porque 3/a = 1/b).
    • \mathrm{TE}_{60} e \mathrm{TE}_{02} têm ambas f_{c}=15{,}0\\ \mathrm{GHz}.
Esses pares são degenerados porque m/a = n/b (no caso m=3n com a=3b).

Passo 7

Resumo final dos valores de corte calculados (para leitura rápida):
  • Modos TE com n=0: \mathrm{TE}_{10}:2{,}5\\ \mathrm{GHz},\\ \mathrm{TE}_{20}:5{,}0\\ \mathrm{GHz},\\ \mathrm{TE}_{30}:7{,}5\\ \mathrm{GHz},\\ \mathrm{TE}_{40}:10{,}0\\ \mathrm{GHz},\\ \mathrm{TE}_{50}:12{,}5\\ \mathrm{GHz},\\ \mathrm{TE}_{60}:15{,}0\\ \mathrm{GHz}.
  • Modos TE com m=0: \mathrm{TE}_{01}:7{,}5\\ \mathrm{GHz},\\ \mathrm{TE}_{02}:15{,}0\\ \mathrm{GHz}.
  • Modos com ambos índices não nulos (TE e TM têm mesmos f_{c}):
    • (1,1):\\\ 7{,}906\\ \mathrm{GHz}
    • (2,1):\\\ 9{,}014\\ \mathrm{GHz}
    • (3,1):\\\ 10{,}606\\ \mathrm{GHz}
    • (4,1):\\\ 12{,}500\\ \mathrm{GHz}
    • (5,1):\\\ 14{,}578\\ \mathrm{GHz}
Agora, mão na massa para conferir a resposta final compacta.

Resposta

Número de modos TE que se propagam até 15{,}1\\ \mathrm{GHz}: 13.
Número de modos TM que se propagam até 15{,}1\\ \mathrm{GHz}: 5.
Frequências de corte (valores em GHz):
\mathrm{TE}_{10}:2{,}5
\mathrm{TE}_{20}:5{,}0
\mathrm{TE}_{30}:7{,}5
\mathrm{TE}_{01}:7{,}5
\mathrm{TE}_{11}:7{,}906 (igual a \mathrm{TM}_{11})
\mathrm{TE}_{40}:10{,}0
\mathrm{TE}_{21}:9{,}014 (igual a \mathrm{TM}_{21})
\mathrm{TE}_{31}:10{,}606 (igual a \mathrm{TM}_{31})
\mathrm{TE}_{50}:12{,}5
\mathrm{TE}_{41}:12{,}500 (igual a \mathrm{TM}_{41})
\mathrm{TE}_{51}:14{,}578 (igual a \mathrm{TM}_{51})
\mathrm{TE}_{60}:15{,}0
\mathrm{TE}_{02}:15{,}0
Modos degenerados (mesma frequência de corte):
\mathrm{TE}_{30} e \mathrm{TE}_{01} (ambos 7{,}5\\ \mathrm{GHz});
\mathrm{TE}_{60} e \mathrm{TE}_{02} (ambos 15{,}0\\ \mathrm{GHz});
para cada par (m,n) com m\ge1,n\ge1 listado acima existe degenerescência TE–TM:
\mathrm{TE}_{11} \mathrm{TM}_{11} ( 7{,}906\\ \mathrm{GHz}),
\mathrm{TE}_{21} \mathrm{TM}_{21} ( 9{,}014\\ \mathrm{GHz}),
\mathrm{TE}_{31} \mathrm{TM}_{31} ( 10{,}606\\ \mathrm{GHz}),
\mathrm{TE}_{41} \mathrm{TM}_{41} ( 12{,}500\\ \mathrm{GHz}),
\mathrm{TE}_{51} \mathrm{TM}_{51} ( 14{,}578\\ \mathrm{GHz}).

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