1. (2,5 pontos) Um guia retangular de dimensões \mathrm{a}=4 \mathrm{~cm} e \mathrm{b}=2 \mathrm{~cm}, preenchido com ar, transporta energia no modo dominante (fundamental) com uma taxa de 2 mW . Se a frequêncía de operação é 10 GHz , determine o valor de pico do campo elétrico no guía.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • largura do guia: \,a=4\\ \text{cm}=0{,}04\\ \text{m}\,.
    • altura do guia: \,b=2\\ \text{cm}=0{,}02\\ \text{m}\,.
    • meio preenchendo o guia: ar (assumir \mu=\mu_0 e \epsilon=\epsilon_0).
    • modo excitado: modo dominante (fundamental) — no guia retangular isso é o modo \text{TE}_{10}.
    • potência transportada (taxa de energia): \,P=2\\ \text{mW}=2{,}0\times10^{-3}\\ \text{W}\,.
    • frequência de operação: \,f=10\\ \text{GHz}=10{,}0\times10^{9}\\ \text{Hz}\,.
  • O que o problema pede:
    • determinar o valor de pico do campo elétrico no guia (ou seja, a amplitude máxima do campo elétrico transversal associada ao modo \text{TE}_{10}, que denotarei por \,E_0).

Passo 2

Estratégia geral (sem calcular ainda): relacionar a potência média transmitida pelo guia com a amplitude do campo elétrico através do fluxo de Poynting. A fórmula geral para potência média transportada por uma onda harmônica é
P=\frac{1}{2}\iint_{A}\operatorname{Re}\bigl(\mathbf{E}\times\mathbf{H}^*\bigr)\cdot\hat{z}\,dA,
onde A é a seção transversal do guia e \hat{z} é a direção de propagação. Para o modo \text{TE}_{10} as relações de campo permitem escrever localmente \,|\mathbf{H}_t|=|\mathbf{E}_t|/Z_{\text{TE}}\,, com Z_{\text{TE}} impedância modal (constante sobre a seção). Assim a potência pode ser escrita como
P=\frac{1}{2Z_{\text{TE}}}\iint_A |\mathbf{E}_t|^2\,dA.
Vou determinar \iint_A |\mathbf{E}_t|^2 dA para o formato do \text{TE}_{10} e calcular Z_{\text{TE}} a partir de parâmetros de onda.
Agora explico cada quantidade que vou usar e como calculá-la:
  • k=\dfrac{2\pi f}{c} é o número de onda no espaço livre, com c velocidade da luz.
  • k_c é o número de onda de corte do modo \text{TE}_{10}: \,k_c=\dfrac{\pi}{a}\,.
  • \beta=\sqrt{k^2-k_c^2} é a constante de propagação no guia (com k>k_c se o modo propaga).
  • a impedância modal para modos TE é
Z_{\text{TE}}=\frac{\omega\mu}{\beta}=\eta\,\frac{k}{\beta},
onde \omega=2\pi f, \eta=\sqrt{\mu/\epsilon}\approx 377\\ \Omega no ar, e \mu=\mu_0, \epsilon=\epsilon_0.

Passo 3

Campos do modo \text{TE}_{10} e integral de energia elétrica na seção:
  • No \text{TE}_{10} a componente transversal do campo elétrico pode ser escrita (dependência espacial) como
E_y(x)=E_0\sin\!\biggl(\dfrac{\pi x}{a}\biggr),
independente de y. O pico E_0 ocorre em x=a/2 (onde \sin é unitária). Portanto
|\mathbf{E}_t|^2 = E_y^2(x)=E_0^2\sin^2\!\biggl(\dfrac{\pi x}{a}\biggr).
  • Calcular a integral sobre a seção 0\le x\le a,\\\ 0\le y\le b:
\iint_A |\mathbf{E}_t|^2\,dA = \int_{0}^{b}\!\int_{0}^{a} E_0^2\sin^2\!\biggl(\dfrac{\pi x}{a}\biggr)\,dx\,dy = E_0^2\,b\int_{0}^{a}\sin^2\!\biggl(\dfrac{\pi x}{a}\biggr)dx.
A integral de \sin^2 sobre um período adequado dá a/2, logo
\iint_A |\mathbf{E}_t|^2\,dA = E_0^2\,b\cdot\frac{a}{2} = \frac{a b}{2}\,E_0^2.

Passo 4

Expressão final que liga potência média e E_0:
P=\frac{1}{2Z_{\text{TE}}}\iint_A |\mathbf{E}_t|^2\,dA =\frac{1}{2Z_{\text{TE}}}\cdot\frac{a b}{2}E_0^2 =\frac{a b}{4Z_{\text{TE}}}\,E_0^2.
Isolando E_0:
E_0=\sqrt{\frac{4PZ_{\text{TE}}}{a b}}.
Agora vou calcular numericamente Z_{\text{TE}}, usando \,Z_{\text{TE}}=\eta\frac{k}{\beta}.

Passo 5

Cálculos numéricos das quantidades de onda e da impedância modal:
  • constantes: c=3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s},\qquad \eta\approx 377\\ \Omega.
  • número de onda no espaço livre: k=\frac{2\pi f}{c}=\frac{2\pi\cdot 10\times10^{9}}{3{,}0\times10^{8}} =2\pi\cdot 33{,}333\ldots \approx 209{,}44\\ \text{rad/m}.
  • número de onda de corte do modo \text{TE}_{10}: k_c=\frac{\pi}{a}=\frac{\pi}{0{,}04\\ \text{m}}\approx 78{,}54\\ \text{rad/m}.
  • constante de propagação: \beta=\sqrt{k^2-k_c^2}=\sqrt{(209{,}44)^2-(78{,}54)^2}\approx 194{,}18\\ \text{rad/m}.
(Observação: \,k>k_c, logo o modo propaga corretamente.)
  • impedância modal: Z_{\text{TE}}=\eta\frac{k}{\beta}\approx 377\cdot\frac{209{,}44}{194{,}18}\approx 377\cdot1{,}0783\approx 406{,}7\\ \Omega.

Passo 6

Substituir tudo na fórmula de E_0:
  • área a b = 0{,}04\times0{,}02=8{,}0\times10^{-4}\\ \text{m}^2.
  • potência P=2{,}0\times10^{-3}\\ \text{W}.
  • Z_{\text{TE}}\approx 406{,}7\\ \Omega.
Calcular o radicando:
\frac{4PZ_{\text{TE}}}{ab}=\frac{4\cdot(2{,}0\times10^{-3})\cdot 406{,}7}{8{,}0\times10^{-4}} = \frac{8{,}0\times10^{-3}\cdot 406{,}7}{8{,}0\times10^{-4}} = \frac{3{,}2536}{8{,}0\times10^{-4}} \approx 4{,}0668\times10^{3}.
Tomando a raiz quadrada:
E_0=\sqrt{4{,}0668\times10^{3}}\approx 63{,}8\\ \text{V/m}.

Resposta

\,E_0\approx63{,}8\\ \text{V/m}

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