Uma onda plana com frequência f=10 \mathrm{MHz} desloca-se com v=2,5 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um meio com perdas. Sua amplitude é reduzida pela metade a cada metro propagado. Encontre o coeficiente de atenuação \alpha, a constante de fase \beta e a profundidade pelicular \delta. ( \mathbf{2 , 0} pontos).

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede três grandezas:
  • Frequência: f=10\\ \mathrm{MHz}.
  • Velocidade de propagação: v=2,5\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • A amplitude da onda é reduzida pela metade a cada metro (isto é, ao avançar 1\\ \mathrm{m} a amplitude fica 1/2 do valor anterior).
As perguntas são:
  1. Encontrar o coeficiente de atenuação \alpha (em \mathrm{Np/m}).
  2. Encontrar a constante de fase \beta (em \mathrm{rad/m}).
  3. Encontrar a profundidade pelicular \delta (em \mathrm{m}).

Passo 2

Vamos recordar o modelo matemático da onda plana em meio com perdas (forma espacial da amplitude): a dependência espacial da amplitude é uma decaída exponencial do tipo
A(x)=A_0 e^{-\alpha x},
onde:
  • A(x) é a amplitude no ponto x,
  • A_0 é a amplitude em x=0,
  • \alpha é o coeficiente de atenuação (em \mathrm{Np/m}).
A parte oscilatória espacial (fase) é descrita pela constante de fase \beta, que aparece no fator complexo de propagação \mathrm{e}^{-j\beta x}. A constante de fase está relacionada com a frequência angular \omega e a velocidade de fase v por
\beta=\frac{\omega}{v},
onde \omega=2\pi f.
A profundidade pelicular (skin depth) \delta é definida como a distância na qual a amplitude decai para 1/e do seu valor inicial, portanto
\delta=\frac{1}{\alpha}.

Passo 3

Determinar \alpha a partir da informação “amplitude reduzida pela metade a cada metro”. A condição matemática para x=1\\ \mathrm{m} é
A(1)=A_0 e^{-\alpha\cdot1}= \frac{A_0}{2}.
Cancelando A_0 e isolando \alpha obtemos
e^{-\alpha}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \alpha=\ln 2.
Agora o valor numérico (usando \ln 2\approx0,693147\ldots):
\alpha=\ln 2\approx0,6931\\ \mathrm{Np/m}.

Passo 4

Calcular a constante de fase \beta. Primeiro calcule a frequência angular:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot(10\times10^{6})=2\pi\times10^{7}\\ \mathrm{rad/s}.
Usando \beta=\dfrac{\omega}{v} e v=2,5\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
\beta=\frac{2\pi\times10^{7}}{2,5\times10^{8}}=\frac{2\pi}{2,5}\times10^{-1}=0,08\pi\\ \mathrm{rad/m}.
Valor numérico (com \pi\approx3,14159):
\beta\approx0,08\pi\approx0,2513\\ \mathrm{rad/m}.
Nota rápida: isso está de acordo com \beta=2\pi/\lambda e \lambda=v/f. Se calcular \lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{2,5\times10^{8}}{10\times10^{6}}=25\\ \mathrm{m}, então \beta=2\pi/25\approx0,2513\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 5

Calcular a profundidade pelicular \delta usando \delta=1/\alpha. Com \alpha=\ln2:
\delta=\frac{1}{\ln 2}\approx\frac{1}{0,693147\ldots}\approx1,4427\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a cada 1,4427\\ \mathrm{m} a amplitude cai para aproximadamente 1/e do valor inicial.

Passo 6

Resumo numérico das três grandezas (arredondando razoavelmente para quatro casas significativas):
  • \alpha\approx0,6931\\ \mathrm{Np/m}.
  • \beta\approx0,2513\\ \mathrm{rad/m}.
  • \delta\approx1,4427\\ \mathrm{m}.

Resposta

\alpha=0,6931\\ \mathrm{Np/m}
\beta=0,2513\\ \mathrm{rad/m}
\delta=1,4427\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados