Os paråmetros do circuito equivalente de um transformador de 30 \mathrm{kVA}, 8000 / 220 \mathrm{~V} e 60 Hz devem ser determinados. O ensaio a vazio foi efetuado no lado de baixa tensão do transformador e o ensaio de curto-circuito foi realizado no lado de alta tensão.
Os resultados dos ensaios foram:
Ensaio a vazio Ensaio em curto-circuito
V_{o}= Nominal V_{c c}=213 \mathrm{~V}
l_{o}=8,00 \mathrm{~A} l_{c c}= Nominal
P_{o}=500 \mathrm{~W} P_{c c}=250 \mathrm{~W}
a) Encontre as impedåncias do circuito equivalente aproximado, referido ao lado de baixa tensão.
b) Encontre a regulação de tensão do transformador, em condições nominais com (1) FP 0,8 atrasado e (2) FP 0,8 adiantado

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Potência nominal S=30\\ \mathrm{kVA}=30000\\ \mathrm{VA}.
  • Tensões nominais: lado alta V_1=8000\\ \mathrm{V} e lado baixa V_2=220\\ \mathrm{V}.
  • Frequência 60\\ \mathrm{Hz} (não será necessária para os cálculos principais aqui).
  • Ensaio a vazio (feito no lado de baixa tensão):
    • V_{o}= tensão nominal do lado baixo =220\\ \mathrm{V}.
    • I_{o}=8{,}00\\ \mathrm{A}.
    • P_{o}=500\\ \mathrm{W}.
  • Ensaio em curto-circuito (feito no lado de alta tensão):
    • V_{cc}=213\\ \mathrm{V} (tensão aplicada no lado alto para produzir a corrente nominal).
    • I_{cc}= corrente nominal no lado alto (isto é, I_{1N}; o enunciado diz “ I_{cc}= Nominal”).
    • P_{cc}=250\\ \mathrm{W}.
O que o problema pede:
(a) Encontrar as impedâncias do circuito equivalente aproximado, todas referidas ao lado de baixa tensão.
(b) Calcular a regulação de tensão do transformador em carga nominal para:
(1) fator de potência 0{,}8 atrasado (indutivo);
(2) fator de potência 0{,}8 adiantado (capacitivo).
Observação sobre convenções que vou usar:
  • a será a relação de transformação a=\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{8000}{220}.
  • No circuito equivalente aproximado referido ao lado de baixa há: a impedância série equivalente R_{eq}' + jX_{eq}' (ramos resistivo e indutivo equivalentes de cobre) e a ramificação de magnetização (paralela) R_c (perdas no ferro) e X_m (reatância de magnetização). Os valores do ensaio a vazio já estão no lado baixo, e os do curto-circuito foram medidos no lado alto e terão que ser referidos ao lado baixo.

Passo 2

Cálculo das correntes nominais (porque precisamos do valor nominal no lado baixo para usar na regulação):
  • Corrente nominal no lado baixo (secundário): I_{2N}=\frac{S}{V_2}=\frac{30000}{220}=\;136{,}3636\\ \mathrm{A}.
  • Corrente nominal no lado alto (primário): I_{1N}=\frac{S}{V_1}=\frac{30000}{8000}=3{,}75\\ \mathrm{A}.
Portanto, do ensaio em curto o valor de corrente de referência é I_{cc}=I_{1N}=3{,}75\\ \mathrm{A}.
Também calculo a relação de transformação e seu quadrado (serão usados para referir impedâncias entre os lados):
a=\frac{V_1}{V_2}=\frac{8000}{220}=36{,}3636\ldots, \qquad a^{2}\approx1322{,}31405.

Passo 3

Análise do ensaio a vazio (feito no lado de baixa tensão). Objetivo: obter R_{c} (resistência das perdas no ferro) e X_{m} (reatância de magnetização), ambos já referidos ao lado de baixa.
Teoria curta e necessária (passo-a-passo):
  • No ensaio a vazio aplica-se a tensão nominal V_{o} no enrolamento de baixa e mede-se a corrente de excitação I_{o} e a potência P_{o}. Essa corrente tem duas componentes: a componente ativa responsável pelas perdas no ferro (corrente de perdas I_c) e a componente reativa de magnetização I_m. Podemos trabalhar em termos de admitância de magnetização Y_m.
  • Definições: Y_m=\frac{I_o}{V_o},\qquad G=\frac{P_o}{V_o^2},onde G é a condutância (parte real da admitância) associada às perdas no ferro. A componente ôhmica em paralelo é R_c=1/G. A susceptância é B=\sqrt{Y_m^2-G^2} e a reatância de magnetização é X_m=1/B.
  • Vou aplicar essas fórmulas com os números dados.
Cálculos:
Y_m=\frac{I_o}{V_o}=\frac{8{,}00}{220}=0{,}0363636\\ \mathrm{S}.
G=\frac{P_o}{V_o^2}=\frac{500}{220^2}=\frac{500}{48400}=0{,}0103306\\ \mathrm{S}.
B=\sqrt{Y_m^2-G^2}=\sqrt{(0{,}0363636)^2-(0{,}0103306)^2}\approx0{,}03487\\ \mathrm{S}.
R_c=\frac{1}{G}\approx\frac{1}{0{,}0103306}\approx96{,}79\\ \Omega.
X_m=\frac{1}{B}\approx\frac{1}{0{,}03487}\approx28{,}69\\ \Omega.
Interpretação: R_c e X_m já estão referidos ao lado de baixa porque o ensaio a vazio foi feito no lado de baixa tensão.

Passo 4

Resumo numérico dos parâmetros obtidos no ensaio a vazio (referidos ao lado de baixa):
  • R_c\approx96{,}79\\ \Omega.
  • X_m\approx28{,}69\\ \Omega.
    (Nota: a impedância equivalente de magnetização tem magnitude Z_m=V_o/I_o=220/8=27{,}5\\ \Omega, compatível com os componentes em paralelo encontrados.)

Passo 5

Análise do ensaio em curto-circuito (feito no lado de alta tensão). Objetivo: obter a impedância série equivalente total Z_{eq} (vista do lado alto) e separar em R_{eq} (perdas ôhmicas equivalentes) e X_{eq} (reatância equivalente). Depois referimos essas impedâncias ao lado baixo.
Teoria e fórmulas:
  • No ensaio em curto-circuito aplica-se uma tensão reduzida V_{cc} no lado em que o ensaio é feito (aqui lado alto) até que a corrente nominal daquele lado circule; a potência medida P_{cc} é basicamente a perda ôhmica (perdas no cobre) no conjunto de enrolamentos referidos ao lado do ensaio.
  • Portanto: Z_{eq,\text{HV}}=\frac{V_{cc}}{I_{cc}}, \qquad R_{eq,\text{HV}}=\frac{P_{cc}}{I_{cc}^2}, \qquad X_{eq,\text{HV}}=\sqrt{Z_{eq,\text{HV}}^2-R_{eq,\text{HV}}^2}.
Cálculos (valores medidos no lado alto):
Z_{eq,\text{HV}}=\frac{213}{3{,}75}=56{,}8\\ \Omega.
R_{eq,\text{HV}}=\frac{250}{(3{,}75)^2}=\frac{250}{14{,}0625}=17{,}7778\\ \Omega.
X_{eq,\text{HV}}=\sqrt{56{,}8^2-17{,}7778^2}\approx53{,}95\\ \Omega.

Passo 6

Referir a impedância série do lado alto para o lado baixo.
Teoria curta:
  • Uma impedância referida de um lado para o outro escala com o quadrado da relação de transformação. Se a=\dfrac{V_1}{V_2} (alta/baixa) então a impedância medida no lado alto convertida ao lado baixo é: Z_{eq,\text{LV}}=Z_{eq,\text{HV}}\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2= \frac{Z_{eq,\text{HV}}}{a^2}.
(Importante: usar \frac{V_2}{V_1} ao referir de HV para LV, ou seja dividir por a^2.)
Aplicando isso:
Z_{eq}'=\frac{Z_{eq,\text{HV}}}{a^2}=\frac{56{,}8}{1322{,}31405}\approx0{,}04295\\ \Omega.
R_{eq}'=\frac{R_{eq,\text{HV}}}{a^2}=\frac{17{,}7778}{1322{,}31405}\approx0{,}01344\\ \Omega.
X_{eq}'=\frac{X_{eq,\text{HV}}}{a^2}\approx\frac{53{,}95}{1322{,}31405}\approx0{,}04080\\ \Omega.
Verificação rápida (consistência com teste de curto):
  • Se referirmos a tensão de curto V_{cc} do lado alto para o lado baixo temos V_{cc,\text{referred\\ to\\ LV}}=V_{cc}/a\approx213/36{,}3636\approx5{,}859\\ \mathrm{V}. A impedância equivalente referida dá uma queda I_{2N}\cdot Z_{eq}'=136{,}3636\cdot0{,}04295\approx5{,}859\\ \mathrm{V}, consistente.

Passo 7

Resumo do circuito equivalente aproximado referido ao lado de baixa (valores finais):
  • Impedância série equivalente (referida ao lado de baixa): R_{eq}'\approx0{,}01344\\ \Omega,\qquad X_{eq}'\approx0{,}04080\\ \Omega.(módulo Z_{eq}'\approx0{,}04295\\ \Omega.)
  • Ramificação de magnetização (obtida no ensaio a vazio, já no lado de baixa): R_c\approx96{,}79\\ \Omega,\qquad X_m\approx28{,}69\\ \Omega.

Passo 8

Explicação da regulação de tensão e fórmula usada (didática):
  • Definição prática de regulação: é a variação percentual da tensão secundária quando se vai da condição de vazio para a condição de plena carga, mantendo a tensão aplicada ao primário constante. Matematicamente, usando a representação fasorial: E_2 = V_2 + I_2(R_{eq}'+jX_{eq}'),onde V_2 é a tensão terminal (aqui tomada como a tensão nominal 220\\ \mathrm{V}) e E_2 é a tensão de vazio correspondente (a tensão induzida).
  • A regulação percentual é \%\mathrm{Reg}=\frac{|E_2|-|V_2|}{|V_2|}\times100\%.
  • Para cálculo exato faz-se a soma vetorial: escolher V_2 como referência real (ângulo 0^\circ). A corrente de carga é I_2=I_{2N}\angle(-\varphi),onde \varphi é o ângulo do fator de potência (ex.: para PF 0{,}8, \cos\varphi=0{,}8 então \sin\varphi=0{,}6). Ao multiplicar I_2(R+jX) e separar em partes reais e imaginárias obtemos: \Delta V_{\text{real}}=I_2(R'\cos\varphi+X'\sin\varphi),
\Delta V_{\text{imag}}=I_2(X'\cos\varphi-R'\sin\varphi).
Então
|E_2|=\sqrt{(V_2+\Delta V_{\text{real}})^2+(\Delta V_{\text{imag}})^2}.
  • Vou aplicar esse procedimento (fásor exato) para os dois casos PF 0{,}8 atrasado e adiantado.

Passo 9

Cálculo da regulação para PF 0{,}8 atrasado (indutivo).
Dados usados:
I_{2N}=136{,}3636\\ \mathrm{A},\quad R'=0{,}01344\\ \Omega,\quad X'=0{,}04080\\ \Omega,
\cos\varphi=0{,}8, \sin\varphi=0{,}6, V_2=220\\ \mathrm{V}.
Cálculos intermediários:
\Delta V_{\text{real}}=I_{2N}(R'\cos\varphi+X'\sin\varphi)
=136{,}3636\big(0{,}01344\cdot0{,}8+0{,}04080\cdot0{,}6\big) \approx136{,}3636\cdot0{,}0352352\approx4{,}804\\ \mathrm{V}.
\Delta V_{\text{imag}}=I_{2N}(X'\cos\varphi-R'\sin\varphi)
=136{,}3636\big(0{,}04080\cdot0{,}8-0{,}01344\cdot0{,}6\big) \approx136{,}3636\cdot0{,}0245736\approx3{,}352\\ \mathrm{V}.
Agora o módulo de E_2:
|E_2|=\sqrt{(220+4{,}804)^2+3{,}352^2}\approx\sqrt{224{,}804^2+3{,}352^2}\approx224{,}830\\ \mathrm{V}.
Regulação:
\%\mathrm{Reg}=\frac{224{,}830-220}{220}\times100\%\approx2{,}20\%.
Interpretação: para PF 0{,}8 atrasado a tensão de vazio é maior que a tensão em carga, logo a regulação é positiva (queda de tensão quando se aplica carga).

Passo 10

Cálculo da regulação para PF 0{,}8 adiantado (capacitivo).
Agora \cos\varphi=0{,}8, \sin\varphi=-0{,}6 (sinal negativo porque a corrente adianta a tensão).
Cálculos intermediários:
\Delta V_{\text{real}}=136{,}3636\big(0{,}01344\cdot0{,}8+0{,}04080\cdot(-0{,}6)\big) \approx136{,}3636\cdot(-0{,}0137248)\approx-1{,}870\\ \mathrm{V}.
\Delta V_{\text{imag}}=136{,}3636\big(0{,}04080\cdot0{,}8-0{,}01344\cdot(-0{,}6)\big) \approx136{,}3636\cdot0{,}0407064\approx5{,}554\\ \mathrm{V}.
Módulo de E_2:
|E_2|=\sqrt{(220-1{,}870)^2+5{,}554^2}\approx\sqrt{218{,}130^2+5{,}554^2}\approx218{,}200\\ \mathrm{V}.
Regulação:
\%\mathrm{Reg}=\frac{218{,}200-220}{220}\times100\%\approx-0{,}82\%.
Interpretação: regulação negativa significa que a tensão em carga nominal é maior que a tensão de vazio (efeito típico com carga de PF adiantado, quando a reatância faz a tensão terminal subir).

Resposta

(a) Impedâncias do circuito equivalente referidas ao lado de baixa tensão:
R_{eq}'\approx0{,}01344\\ \Omega,\quad X_{eq}'\approx0{,}04080\\ \Omega;\quad R_c\approx96{,}79\\ \Omega,\quad X_m\approx28{,}69\\ \Omega.
(b) Regulação de tensão na carga nominal:
(1) PF 0{,}8 atrasado: 2{,}20\%.
(2) PF 0{,}8 adiantado: -0{,}82\%.

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