QUESTÃO 2-5 PONTOS

No passado um dos limitantes a transmissão a longas distâncias era o nível de tensão baixo obtido nos geradores elétricos. Com a tensão em niveis mais baixos o gerador apresenta niveis de corrente mais elevados. Diante deste contexto de transmissão de energia, considere então um sistema de potência simples consistindo em uma fonte ideal de tensão, dois transformadores, sendo um elevador de tensão instalado no lado da geração e o outro abaixador de tensão instalado no lado da carga, uma linha de transmissão e uma carga. A tensão na fonte é V_{1}=380 V. A impedância da linha de transmissão é 5+ j 5 \Omega e a impedância da carga é 40+\mathrm{j} 40 \Omega.
a) Determine a eficiência de potência do sistema sem considerar a presença dos transformadores.
b) Determine a eficiência de potência do sistema considerando que ambos os transformadores têm relação de transformação de 10:1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados:
  • Tensão da fonte: V_{1}=380\\ \mathrm{V}.
  • Impedância da linha de transmissão: Z_{\ell}=5+\mathrm{j}\,5\\ \Omega.
  • Impedância da carga: Z_{L}=40+\mathrm{j}\,40\\ \Omega.
    Perguntas:
    (a) Determinar a eficiência de potência do sistema sem considerar transformadores.
    (b) Determinar a eficiência de potência do sistema considerando dois transformadores ideais com relação de transformação 10\!:\!1, um elevador no lado da geração e o outro abaixador no lado da carga.

Passo 2

Definição e ideia básica para (a). Vou explicar o que significa eficiência de potência aqui:
\text{eficiência } \eta=\frac{P_{\text{entregue à carga}}}{P_{\text{fornecido pela fonte}}} =\frac{P_{L}}{P_{L}+P_{\ell}},êà
onde P_{L} é a potência real absorvida pela carga e P_{\ell} é a perda real na resistência da linha. Em circuitos série (linha em série com carga) a mesma corrente percorre ambos, então
P_{L}=|I|^{2}\,R_{L},\qquad P_{\ell}=|I|^{2}\,R_{\ell},
onde R_{L}=\operatorname{Re}(Z_{L}) e R_{\ell}=\operatorname{Re}(Z_{\ell}). Assim o fator |I|^{2} cancela quando formamos a razão:
\eta=\frac{R_{L}}{R_{L}+R_{\ell}}.
Isto significa que, para a eficiência (potência real), apenas as partes resistivas importam; reatâncias afetam a corrente, mas cancelam na razão.

Passo 3

Aplicando os números em (a):
R_{L}=\operatorname{Re}(Z_{L})=40,\qquad R_{\ell}=\operatorname{Re}(Z_{\ell})=5.
Logo
\eta_{(a)}=\frac{40}{40+5}=\frac{40}{45}=\frac{8}{9}\approx0{,}888888\ldots
Como porcentagem:
\eta_{(a)}\approx 88{,}89\%.
(Se quiser verificar numericamente com correntes: Z_{\text{tot}}=45+\mathrm{j}\,45, |Z_{\text{tot}}|=45\sqrt{2}, |I|=380/(45\sqrt{2})\approx5{,}97\\ \mathrm{A}. Então P_{L}=|I|^{2}\cdot40\approx1426{,}7\\ \mathrm{W}, P_{\ell}=|I|^{2}\cdot5\approx178{,}3\\ \mathrm{W}, e \eta=1426{,}7/(1426{,}7+178{,}3)\approx0{,}8889.)

Passo 4

Explicação física e fórmulas de transformador para (b). Para transformadores ideais vale a relação entre tensões, correntes e impedâncias:
  • Definir k como a razão de transformação k=\dfrac{V_{\text{sec}}}{V_{\text{pri}}}.
  • Relações de transformador ideal: V_{\text{sec}}=k\,V_{\text{pri}},\qquad I_{\text{sec}}=\frac{I_{\text{pri}}}{k}.
  • Reflexão de impedância: a impedância Z_{\text{sec}} vista do lado primário é Z_{\text{pri}}=\frac{Z_{\text{sec}}}{k^{2}}.
No problema temos um transformador elevador no lado da geração (vou usar k_{\text{up}}=10, ou seja o secundário do elevador tem tensão 10 vezes a do primário) e no lado da carga um transformador abaixador que é a inversa (para o transformador do lado da carga k_{\text{down}}=\tfrac{1}{10}). Físicamente isso faz a corrente na linha ser menor: a corrente na linha será 1/10 da corrente que circula na carga, reduzindo perdas I^{2}R da linha em fator 100.

Passo 5

Cálculo efetivo usando reflexão de impedâncias (b). Procedimento prático:
  1. Refletir a carga ao lado da linha através do transformador abaixador. Para esse transformador k_{\text{down}}=\tfrac{1}{10}, portanto a impedância do lado da linha correspondente à carga é
Z_{L,\text{ref\_na\_linha}}=\frac{Z_{L}}{k_{\text{down}}^{2}}=\frac{Z_{L}}{(1/10)^{2}}=100\,Z_{L}.
  1. A impedância total vista ao longo da linha (lado linha) é
Z_{\text{linha+ref}}=Z_{\ell}+100\,Z_{L}.
  1. Refletir essa série de volta ao primário do transformador elevador com k_{\text{up}}=10. A impedância vista pela fonte é
Z_{\text{eq}}=\frac{Z_{\text{linha+ref}}}{k_{\text{up}}^{2}} =\frac{Z_{\ell}+100\,Z_{L}}{100} = \frac{Z_{\ell}}{100}+Z_{L}.
Observe a forma simples: o efeito líquido é que a impedância da linha ficou reduzida por 100 quando vista pela fonte, enquanto a carga volta praticamente igual. Em termos de resistências reais isto dá R_{\ell,\text{efetivo}}=R_{\ell}/100.

Passo 6

Cálculo numérico de (b) e eficiência. Usando
R_{\ell,\text{efetivo}}=\frac{R_{\ell}}{100}=\frac{5}{100}=0{,}05,\qquad R_{L}=40,
a eficiência (mesma dedução que no caso sem transformador, porque correntes comuns cancelam) fica
\eta_{(b)}=\frac{R_{L}}{R_{L}+R_{\ell,\text{efetivo}}} =\frac{40}{40+0{,}05}=\frac{40}{40{,}05}\approx0{,}99875.
Como porcentagem:
\eta_{(b)}\approx 99{,}875\%.
Verificação numérica detalhada (opcional, mostra valores de correntes e potências):
  • Impedância equivalente vista pela fonte: Z_{\text{eq}}=40{,}05+\mathrm{j}\,40{,}05, |Z_{\text{eq}}|=40{,}05\sqrt{2}.
  • Corrente da fonte: |I_{\text{fonte}}|=\dfrac{380}{40{,}05\sqrt{2}}\approx6{,}707\\ \mathrm{A}. Essa é também a corrente que circula na carga (efeito combinado dos dois transformadores), portanto
P_{L}=|I|^{2}R_{L}\approx(6{,}707)^{2}\cdot40\approx1799{,}4\\ \mathrm{W}.
  • Corrente na linha é 1/10 dessa: |I_{\ell}| \approx0{,}6707\\ \mathrm{A}, logo perda na linha
P_{\ell}=|I_{\ell}|^{2}R_{\ell}\approx(0{,}6707)^{2}\cdot5\approx2{,}25\\ \mathrm{W},
e a eficiência 1799{,}4/(1799{,}4+2{,}25)\approx0{,}99875 confirma o valor acima.

Resposta

\eta_{(a)}=\dfrac{40}{45}=\dfrac{8}{9}\approx0{,}8889\quad(88{,}89\%)
\eta_{(b)}=\dfrac{40}{40{,}05}\approx0{,}99875\quad(99{,}875\%)

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