Seja uma onda plana propagando-se em um meio dielétrico, onde \mu_{\mathrm{r}}=1, cujo campo elétrico é dado por \vec{E}=30 \cos \left(10^{9} t-5 z\right) \vec{i} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Essa onda incide perpendicularmente em outro meio dielétrico, cujo \varepsilon_{r}=4 e \mu=\mu_{0}. Calcule os coeficientes de reflexão e transmissão e explicite os campos \vec{E} e \vec{H} incidente, refletido e transmitido em sua forma vetorial no meio 2 . Calcule também a densidade média de potência incidente, transmitida e refletida. ( \mathbf{2 , 0} pontos)
Utilize os seguintes valores para as constantes:
\begin{aligned} & \varepsilon_{0}=10^{-9} / 36 \pi \mathrm{~F} / \mathrm{m} \\\ & \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente para ficar claro o que se pede):
  • Campo elétrico no meio 1 (incidente), já fornecido:
\vec{E}_{\mathrm{i}}(z,t)=30\cos\!\bigl(10^{9}t-5z\bigr)\,\vec{i}\quad\text{V/m}.
  • Para o meio 1 foi informado \mu_{r1}=1 (portanto \mu_{1}=\mu_{0}). O enunciado não deu \varepsilon_{r1}, então teremos que obtê-la a partir da relação de propagação.
  • Meio 2: \varepsilon_{r2}=4 e \mu_{2}=\mu_{0}.
  • Constantes fornecidas:
\varepsilon_{0}=\dfrac{10^{-9}}{36\pi}\\ \text{F/m},\qquad \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}.
O que o enunciado pede:
  1. Calcular os coeficientes de reflexão e transmissão (em amplitude) para incidência normal entre os dois dielétricos.
  2. Explicitar os campos \vec{E} e \vec{H} incidente, refletido e transmitido em forma vetorial (o transmitido no meio 2).
  3. Calcular a densidade média de potência (fluxo de Poynting médio) incidente, refletida e transmitida.

Passo 2

Identificar parâmetros auxiliares e determinar os meios a partir dos dados do problema.
  1. Frequência angular e número de onda no meio 1 (extraídos do argumento do cosseno):
\omega=10^{9}\\ \text{rad/s},\qquad k_{1}=5\\ \text{rad/m}.
Explicação curta da relação física que vou usar: para uma onda plana em um meio sem perdas
k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}.
Como \mu_{1}=\mu_{0}, isolo \varepsilon_{1}:
\varepsilon_{1}=\frac{k_{1}^{2}}{\omega^{2}\mu_{1}}.
Calculemos numericamente:
k_{1}^{2}=(5)^{2}=25,\qquad \left(\frac{k_{1}}{\omega}\right)^{2}=\left(\frac{5}{10^{9}}\right)^{2}=2{,}5\times10^{-17}.
Usando \mu_{0}=4\pi\times10^{-7} temos
\varepsilon_{1}=\frac{2{,}5\times10^{-17}}{4\pi\times10^{-7}} =1{,}989\times10^{-11}\\ \text{F/m}.
A partir disso a permissividade relativa do meio 1 é
\varepsilon_{r1}=\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{0}}
e usando \varepsilon_{0}=\dfrac{10^{-9}}{36\pi} (valor fornecido) obtemos numericamente
\varepsilon_{r1}\approx2{,}25.
(Isto mostra que o meio 1 é um dielétrico com \varepsilon_{r}\approx2{,}25.)
  1. Constante de fase no meio 2:
    primeiro calculo a constante de fase no vácuo/médio de referência (opcional) ou uso relação direta: como \varepsilon_{r2}=4 e \mu_{2}=\mu_{0},
k_{2}=\omega\sqrt{\mu_{2}\varepsilon_{2}}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}}=\sqrt{\varepsilon_{r2}}\;\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}.
Da relação entre k_{1} e k_{0}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} temos k_{0}=k_{1}/\sqrt{\varepsilon_{r1}}. Assim
k_{2}= \sqrt{\varepsilon_{r2}}\;k_{0}=\sqrt{\varepsilon_{r2}}\;\frac{k_{1}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}} = k_{1}\frac{\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}}.
Numericamente,
k_{0}\approx\frac{5}{\sqrt{2{,}25}}\approx3{,}333\\ \text{rad/m}, \qquad k_{2}=\sqrt{4}\,k_{0}=2\times3{,}333\approx6{,}667\\ \text{rad/m}.
  1. Impedâncias de onda dos meios (onda plana sem perdas):
    explicação: a impedância intrínseca de um meio é \eta=\sqrt{\mu/\varepsilon}. Para meios com \mu=\mu_{0} obtemos
\eta_{m}=\frac{\eta_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{r,m}}},\quad\text{onde}\\ \eta_{0}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}\approx377\\ \Omega.
Calculando:
\eta_{1}=\frac{\eta_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}}\approx\frac{377}{\sqrt{2{,}25}}\approx251{,}3\\ \Omega, \qquad \eta_{2}=\frac{\eta_{0}}{\sqrt{4}}=\frac{377}{2}\approx188{,}5\\ \Omega.

Passo 3

Derivar os coeficientes de reflexão e transmissão (amplitude) usando as condições de contorno.
Teoria curta e fórmula: para incidência normal entre dois meios sem perdas, as condições de contorno tangenciais em z=0 dão o sistema
E_{i}+E_{r}=E_{t},\qquad \frac{E_{i}-E_{r}}{\eta_{1}}=\frac{E_{t}}{\eta_{2}}.
Resolvendo para a razão E_{r}/E_{i}=\Gamma e E_{t}/E_{i}=\tau obtemos as fórmulas padrão:
\Gamma=\frac{\eta_{2}-\eta_{1}}{\eta_{2}+\eta_{1}},\qquad \tau=\frac{2\eta_{2}}{\eta_{2}+\eta_{1}}=1+\Gamma.
Substituindo os valores numéricos de \eta_{1} e \eta_{2}:
\Gamma=\frac{188{,}5-251{,}3}{188{,}5+251{,}3}\approx-0{,}143, \qquad \tau=\frac{2\times188{,}5}{188{,}5+251{,}3}\approx0{,}857.

Passo 4

Escrever explicitamente os campos \vec{E} e \vec{H} (incidente, refletido e transmitido) em forma vetorial.
Regra usada para \vec{H}: para uma onda plana sem perdas viajando em +\hat{z} com \vec{E} ao longo de \vec{i},
\vec{H}=\frac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\vec{E}.
No nosso caso o incidente tem \hat{k}=+\hat{z} e \vec{E}_{\mathrm{i}} paralelo a \vec{i}, logo \hat{z}\times\vec{i}=\vec{j}. Para a refletida \hat{k}=-\hat{z} e (-\hat{z})\times\vec{i}=-\vec{j}.
Agora as expressões (com os números aproximados já calculados):
  • Campo elétrico incidente:
\vec{E}_{\mathrm{i}}(z,t)=30\cos\!\bigl(10^{9}t-5z\bigr)\,\vec{i}\quad\text{V/m}.
  • Campo magnético incidente (meio 1, impedância \eta_{1}):
\vec{H}_{\mathrm{i}}(z,t)=\frac{30}{\eta_{1}}\cos\!\bigl(10^{9}t-5z\bigr)\,\vec{j} \approx\frac{30}{251{,}3}\cos\!\bigl(10^{9}t-5z\bigr)\,\vec{j}.
  • Campo elétrico refletido (no meio 1, viajando em -z, amplitude \Gamma\cdot30):
\vec{E}_{\mathrm{r}}(z,t)=30\Gamma\cos\!\bigl(10^{9}t+5z\bigr)\,\vec{i} \approx30(-0{,}143)\cos\!\bigl(10^{9}t+5z\bigr)\,\vec{i}.
  • Campo magnético refletido:
\vec{H}_{\mathrm{r}}(z,t)=\frac{30\Gamma}{\eta_{1}}\cos\!\bigl(10^{9}t+5z\bigr)\,(-\vec{j}) \approx -\frac{30\times0{,}143}{251{,}3}\cos\!\bigl(10^{9}t+5z\bigr)\,\vec{j}.
(forma equivalente: \vec{H}_{\mathrm{r}}=(30\Gamma/\eta_{1})\cos(\ldots)\,(-\vec{j}).)
  • Campo elétrico transmitido (no meio 2, viajando em +z, com k_{2} e amplitude \tau\cdot30):
\vec{E}_{\mathrm{t}}(z,t)=30\tau\cos\!\bigl(10^{9}t-k_{2}z\bigr)\,\vec{i} \approx30(0{,}857)\cos\!\bigl(10^{9}t-6{,}667\,z\bigr)\,\vec{i}.
  • Campo magnético transmitido (meio 2, impedância \eta_{2}):
\vec{H}_{\mathrm{t}}(z,t)=\frac{30\tau}{\eta_{2}}\cos\!\bigl(10^{9}t-k_{2}z\bigr)\,\vec{j} \approx\frac{30\times0{,}857}{188{,}5}\cos\!\bigl(10^{9}t-6{,}667\,z\bigr)\,\vec{j}.
Dê atenção: nos campos acima os valores numéricos aproximados (por exemplo \Gamma\approx-0{,}143, \tau\approx0{,}857, k_{2}\approx6{,}667\\ \text{rad/m}) foram usados para facilitar leitura; as formas simbólicas com \Gamma,\tau,k_{2},\eta_{1},\eta_{2} são as exatas em termos dos parâmetros.

Passo 5

Calcular as densidades médias de potência (valor médio do vetor de Poynting) para onda harmônica:
Fórmula usada (onda plana sem perdas, amplitude de pico E_{0}):
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\frac{E_{0}^{2}}{\eta},
onde \eta é a impedância do meio por onde a onda está se propagando.
  1. Potência média incidente (meio 1, E_{0}=30, \eta_{1}):
\langle S_{\mathrm{i}}\rangle=\frac{1}{2}\frac{30^{2}}{\eta_{1}} =\frac{450}{\eta_{1}}\approx\frac{450}{251{,}3}\approx1{,}79\\ \text{W/m}^{2}.
  1. Potência média refletida (meio 1, amplitude do refletido E_{0r}=30|\Gamma|):
\langle S_{\mathrm{r}}\rangle=\frac{1}{2}\frac{(30\Gamma)^{2}}{\eta_{1}} =\frac{1}{2}\frac{900\Gamma^{2}}{\eta_{1}} \approx0{,}0366\\ \text{W/m}^{2}.
  1. Potência média transmitida (meio 2, E_{0t}=30\tau, \eta_{2}):
\langle S_{\mathrm{t}}\rangle=\frac{1}{2}\frac{(30\tau)^{2}}{\eta_{2}} \approx1{,}75\\ \text{W/m}^{2}.
Verificação rápida: numericamente \langle S_{\mathrm{i}}\rangle\approx1{,}79 e \langle S_{\mathrm{r}}\rangle+\langle S_{\mathrm{t}}\rangle\approx0{,}0366+1{,}75\approx1{,}79, ou seja, a energia está conservada (diferenças pequenas são devidas ao arredondamento).

Resposta

\Gamma=\dfrac{\eta_{2}-\eta_{1}}{\eta_{2}+\eta_{1}}\approx-0{,}143\newline
\tau=\dfrac{2\eta_{2}}{\eta_{2}+\eta_{1}}\approx0{,}857\newline
\displaystyle \vec{E}_{\mathrm{i}}(z,t)=30\cos\!\bigl(10^{9}t-5z\bigr)\,\vec{i}\\ \text{V/m}\newline
\displaystyle \vec{H}_{\mathrm{i}}(z,t)=\frac{30}{\eta_{1}}\cos\!\bigl(10^{9}t-5z\bigr)\,\vec{j}\\ \text{A/m}\quad(\eta_{1}\approx251{,}3\\ \Omega)\newline
\displaystyle \vec{E}_{\mathrm{r}}(z,t)=30\Gamma\cos\!\bigl(10^{9}t+5z\bigr)\,\vec{i}\approx-4{,}29\cos\!\bigl(10^{9}t+5z\bigr)\,\vec{i}\\ \text{V/m}\newline
\displaystyle \vec{H}_{\mathrm{r}}(z,t)=-\frac{30\Gamma}{\eta_{1}}\cos\!\bigl(10^{9}t+5z\bigr)\,\vec{j}\\ \text{A/m}\newline
\displaystyle \vec{E}_{\mathrm{t}}(z,t)=30\tau\cos\!\bigl(10^{9}t-k_{2}z\bigr)\,\vec{i}\approx25{,}71\cos\!\bigl(10^{9}t-6{,}667z\bigr)\,\vec{i}\\ \text{V/m}\newline
\displaystyle \vec{H}_{\mathrm{t}}(z,t)=\frac{30\tau}{\eta_{2}}\cos\!\bigl(10^{9}t-k_{2}z\bigr)\,\vec{j}\\ \text{A/m}\quad(\eta_{2}\approx188{,}5\\ \Omega,\\ k_{2}\approx6{,}667\\ \text{rad/m})\newline
\langle S_{\mathrm{i}}\rangle=\dfrac{1}{2}\dfrac{30^{2}}{\eta_{1}}\approx1{,}79\\ \text{W/m}^{2}\newline
\langle S_{\mathrm{r}}\rangle=\dfrac{1}{2}\dfrac{(30\Gamma)^{2}}{\eta_{1}}\approx0{,}0366\\ \text{W/m}^{2}\newline
\langle S_{\mathrm{t}}\rangle=\dfrac{1}{2}\dfrac{(30\tau)^{2}}{\eta_{2}}\approx1{,}75\\ \text{W/m}^{2}

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