Seja uma onda plana propagando-se em um meio dielétrico, onde
, cujo campo elétrico é dado por
. Essa onda incide perpendicularmente em outro meio dielétrico, cujo
e
. Calcule os coeficientes de reflexão e transmissão e explicite os campos
incidente, refletido e transmitido em sua forma vetorial no meio 2 . Calcule também a densidade média de potência incidente, transmitida e refletida. (
pontos)
Utilize os seguintes valores para as constantes:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente para ficar claro o que se pede):
- Campo elétrico no meio 1 (incidente), já fornecido:
- Para o meio 1 foi informado
(portanto ). O enunciado não deu , então teremos que obtê-la a partir da relação de propagação. - Meio 2:
e . - Constantes fornecidas:
O que o enunciado pede:
- Calcular os coeficientes de reflexão e transmissão (em amplitude) para incidência normal entre os dois dielétricos.
- Explicitar os campos
e incidente, refletido e transmitido em forma vetorial (o transmitido no meio 2). - Calcular a densidade média de potência (fluxo de Poynting médio) incidente, refletida e transmitida.
Passo 2
Identificar parâmetros auxiliares e determinar os meios a partir dos dados do problema.
- Frequência angular e número de onda no meio 1 (extraídos do argumento do cosseno):
Explicação curta da relação física que vou usar: para uma onda plana em um meio sem perdas
Como
, isolo
:
Calculemos numericamente:
Usando
temos
A partir disso a permissividade relativa do meio 1 é
e usando
(valor fornecido) obtemos numericamente
(Isto mostra que o meio 1 é um dielétrico com
.)
- Constante de fase no meio 2:
primeiro calculo a constante de fase no vácuo/médio de referência (opcional) ou uso relação direta: comoe ,
Da relação entre
e
temos
. Assim
Numericamente,
- Impedâncias de onda dos meios (onda plana sem perdas):
explicação: a impedância intrínseca de um meio é. Para meios com obtemos
Calculando:
Passo 3
Derivar os coeficientes de reflexão e transmissão (amplitude) usando as condições de contorno.
Teoria curta e fórmula: para incidência normal entre dois meios sem perdas, as condições de contorno tangenciais em
dão o sistema
Resolvendo para a razão
e
obtemos as fórmulas padrão:
Substituindo os valores numéricos de
e
:
Passo 4
Escrever explicitamente os campos
e
(incidente, refletido e transmitido) em forma vetorial.
Regra usada para
: para uma onda plana sem perdas viajando em
com
ao longo de
,
No nosso caso o incidente tem
e
paralelo a
, logo
. Para a refletida
e
.
Agora as expressões (com os números aproximados já calculados):
- Campo elétrico incidente:
- Campo magnético incidente (meio 1, impedância
):
- Campo elétrico refletido (no meio 1, viajando em
, amplitude ):
- Campo magnético refletido:
(forma equivalente:
.)
- Campo elétrico transmitido (no meio 2, viajando em
, com e amplitude ):
- Campo magnético transmitido (meio 2, impedância
):
Dê atenção: nos campos acima os valores numéricos aproximados (por exemplo
,
,
) foram usados para facilitar leitura; as formas simbólicas com
são as exatas em termos dos parâmetros.
Passo 5
Calcular as densidades médias de potência (valor médio do vetor de Poynting) para onda harmônica:
Fórmula usada (onda plana sem perdas, amplitude de pico
):
onde
é a impedância do meio por onde a onda está se propagando.
- Potência média incidente (meio 1,
, ):
- Potência média refletida (meio 1, amplitude do refletido
):
- Potência média transmitida (meio 2,
, ):
Verificação rápida: numericamente
e
, ou seja, a energia está conservada (diferenças pequenas são devidas ao arredondamento).