Uma onda plana uniforme de 30 MHz com
H=10 cdot sen(omega cdot t+beta cdot x) a2 mA / m
existe em uma região x >= 0, tendo sigma=0, varepsilon=9 cdot varepsilon0, mu=4 cdot mu0 Em x=0, a onda encontra o espaço livre, Determine:
(d) os campos magnéticos refletido e transmitido;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma onda magnética plana e uniforme de 30 MHz que existe na região $ x \geq 0 $. As propriedades desse meio são: condutividade x >= 0 , permissividade sigma = 0 e permeabilidade varepsilon = 9 cdot varepsilon0. Quando essa onda atinge a interface em $ x = 0 $, ela encontra o espaço livre (meio 2), que tem propriedades diferentes: mu = 4 cdot mu0, x = 0 e sigma = 0.
O que precisamos encontrar é os campos magnéticos refletido e transmitido ($ \mathbf{H}{refletido} $ e $ \mathbf{H}{transmitido} $) nessa situação. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de ondas eletromagnéticas, especialmente os coeficientes de reflexão e transmissão nos limites entre diferentes meios.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as características das ondas nos dois meios.
Meio 1 (antes da interface, $ x \geq 0 $):
  • Frequência: $ f = 30 $ MHz
  • Campo magnético incidente: x >= 0
  • Permeabilidade: $ \mu_1 = 4 \cdot \mu_{0} $
  • Permissividade: $ \varepsilon_1 = 9 \cdot \varepsilon_{0} $
Meio 2 (após a interface, espaço livre):
  • Permeabilidade: $ \mu_2 = \mu_{0} $
  • Permissividade: $ \varepsilon_2 = \varepsilon_{0} $

Passo 3

Vamos calcular as admitâncias intrínsecas ($ \eta $) de cada meio, que nos ajudam a determinar como a onda se comporta na interface.
A admitância intrínseca é dada por:
eta
Para o Meio 1:
eta = raizmuvarepsilon
onde $ \eta_{0} = \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}} $ é a admitância do espaço livre.
Para o Meio 2:
eta1 = raiz4 mu09 varepsilon0 = 23 raizmu0varepsilon0 = 23 eta0

Passo 4

Agora, vamos determinar os coeficientes de reflexão ($ \Gamma_H GammaH ã T_H $) para o campo magnético. Estes coeficientes nos dizem quanto da onda é refletida e transmitida na interface.
Os coeficientes são dados por:
TH
GammaH = eta2 - eta1eta2 + eta1
Substituindo os valores de $ \eta_1 $ e $ \eta_2 $:

Passo 5

Com os coeficientes em mãos, podemos agora expressar os campos magnéticos refletido e transmitido.
Campo magnético refletido ($ \mathbf{H}_{refletido} $):
Href<=tido
Note que o sinal de $ \beta_1 x $ muda devido à reflexão.
Campo magnético transmitido ($ \mathbf{H}_{transmitido} $):
Href<=tido = GammaH cdot Hinc = 15 cdot 10 cdot sin(omega t - beta1 x) a2 = 2 cdot sin(omega t - beta1 x) a2 mA/m
Aqui, $ \beta_2 $ é o número de onda no meio 2, calculado por:
beta1 x
onde $ \beta_0 $ é o número de onda no espaço livre.

Resposta

Os campos magnéticos refletido e transmitido são, respectivamente:
Href<=tido = 2 cdot sin(omega t - beta1 x) a2 mA/m
Htransmitido = 12 cdot sin(omega t + beta2 x) a2 mA/m

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