Utilizando as equações de Maxwell, verifique se os campos descritos abaixo podem existir no espaço livre. (2,0 pontos).
\begin{aligned} & E=-E_{0} \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(t) i[V / m] \\ & H=-\left(1 / \mu_{0}\right) E_{0} \sin (x) \cos (t) k[A / m] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá os campos elétrico e magnético (no espaço livre) como:
\mathbf{E} = -E_{0}\sin(x)\sin(t)\,\mathbf{i}\quad[\text{V/m}],
\mathbf{H} = -\frac{1}{\mu_{0}}E_{0}\sin(x)\cos(t)\,\mathbf{k}\quad[\text{A/m}].
A pergunta é: verificar se esses campos podem existir no espaço livre.
Informações relevantes (espaço livre):
  • cargas e correntes nulas: \rho=0,\; \mathbf{J}=0.
  • leis constitutivas: \mathbf{D}=\varepsilon_{0}\mathbf{E}, \mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{H}.
  • equações diferenciais de Maxwell no vácuo que vamos usar: \nabla\cdot\mathbf{E}=0,
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
\nabla\times\mathbf{H}=\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Vou verificar cada uma delas aplicando aos campos fornecidos.

Passo 2

Verificação de \nabla\cdot\mathbf{E}=0.
Escrevendo \mathbf{E}=(E_x,0,0) com E_x=-E_{0}\sin(x)\sin(t). A divergência é
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}.
Calcule a derivada parcial:
\frac{\partial E_x}{\partial x}=-E_{0}\frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)\bigr)\sin(t)=-E_{0}\cos(x)\sin(t).
Portanto
\nabla\cdot\mathbf{E}=-E_{0}\cos(x)\sin(t).
Isto NÃO é identicamente zero para todos x,t (a menos de E_{0}=0). Como a lei de Gauss no vácuo exige \nabla\cdot\mathbf{E}=0, já temos uma contradição para E_{0}\neq0.

Passo 3

Verificação de \nabla\cdot\mathbf{B}=0.
Primeiro obtenha \mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{H}. Como \mathbf{H}=-\dfrac{1}{\mu_{0}}E_{0}\sin(x)\cos(t)\,\mathbf{k}, segue
\mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{H}=-E_{0}\sin(x)\cos(t)\,\mathbf{k}.
A divergência de \mathbf{B}=(0,0,B_z) é
\nabla\cdot\mathbf{B}=\frac{\partial B_z}{\partial z}.
Mas B_z=-E_{0}\sin(x)\cos(t) depende somente de x e t, não de z. Logo
\nabla\cdot\mathbf{B}=0.
Portanto a condição \nabla\cdot\mathbf{B}=0 é satisfeita.

Passo 4

Verificação de \nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Como \mathbf{E}=(E_x,0,0) e E_x depende só de x e t, os componentes do rotacional são
\nabla\times\mathbf{E}=\bigl(\partial_z E_y-\partial_y E_z,\;\partial_x E_z-\partial_z E_x,\;\partial_y E_x-\partial_x E_y\bigr).
Mas E_y=E_z=0, então todas as derivadas espaciais envolvidas são zero e
\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}.
Agora calcule -\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}. Com \mathbf{B}=-E_{0}\sin(x)\cos(t)\,\mathbf{k},
\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=-E_{0}\sin(x)\frac{d}{dt}\bigl(\cos(t)\bigr)\,\mathbf{k} = -E_{0}\sin(x)(- \sin(t))\,\mathbf{k} = E_{0}\sin(x)\sin(t)\,\mathbf{k}.
Assim
-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=-E_{0}\sin(x)\sin(t)\,\mathbf{k}.
Comparando com \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}, a igualdade \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t exigiria
\mathbf{0}=-E_{0}\sin(x)\sin(t)\,\mathbf{k},
o que novamente só ocorre para todo x,t se E_{0}=0. Logo, para E_{0}\neq0 a equação de Faraday é violada.

Passo 5

Verificação de \nabla\times\mathbf{H}=\varepsilon_{0}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Escrevendo \mathbf{H}=(0,0,H_z) com H_z=-\dfrac{1}{\mu_{0}}E_{0}\sin(x)\cos(t). O rotacional tem componentes
\nabla\times\mathbf{H}=\bigl(\partial_y H_z-\partial_z H_y,\;\partial_z H_x-\partial_x H_z,\;\partial_x H_y-\partial_y H_x\bigr).
Como H_x=H_y=0, apenas o segundo componente pode ser não nulo:
(\nabla\times\mathbf{H})_y = -\frac{\partial H_z}{\partial x}.
Calcule \partial H_z/\partial x:
\frac{\partial H_z}{\partial x}=-\frac{1}{\mu_{0}}E_{0}\cos(x)\cos(t).
Portanto
\nabla\times\mathbf{H}=\left(0,\; \frac{1}{\mu_{0}}E_{0}\cos(x)\cos(t),\;0\right).
Agora a derivada temporal de \mathbf{E}: \mathbf{E}=(-E_{0}\sin(x)\sin(t),0,0)
\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}=\varepsilon_{0}\left(-E_{0}\sin(x)\cos(t),\;0,\;0\right).
O lado esquerdo ( \nabla\times\mathbf{H}) é um vetor alinhado com \mathbf{j} (direção y), enquanto o lado direito é alinhado com \mathbf{i} (direção x). Não há como os dois vetores serem iguais para E_{0}\neq0. Logo a equação de Ampère-Maxwell também é violada para E_{0}\neq0.

Passo 6

Conclusão e interpretação didática (resumindo o que foi achado e o porquê).
  • A condição \nabla\cdot\mathbf{E}=0 falha porque \nabla\cdot\mathbf{E}=-E_{0}\cos(x)\sin(t)\neq0 em geral. Isso significa que o campo elétrico dado corresponde a uma distribuição de carga volumétrica não nula, o que contradiz a hipótese de vácuo sem cargas.
  • A equação de Faraday \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t falha porque o rotacional de \mathbf{E} é nulo enquanto -\partial\mathbf{B}/\partial t é um vetor não nulo na direção \mathbf{k}.
  • A equação de Ampère-Maxwell falha porque \nabla\times\mathbf{H} aponta em \mathbf{j} enquanto \varepsilon_{0}\partial\mathbf{E}/\partial t aponta em \mathbf{i}; os dois lados têm direções diferentes e não se igualam.
  • A única maneira de eliminar todas as contradições simultaneamente é tomar E_{0}=0, caso trivial em que ambos os campos são nulos.
Portanto, exceto pelo caso trivial E_{0}=0, os campos fornecidos NÃO satisfazem as equações de Maxwell no espaço livre e, logo, não podem existir no vácuo.

Resposta

Não — os campos não satisfazem as equações de Maxwell no vácuo para E_{0}\neq0; apenas o caso trivial E_{0}=0 é compatível.

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