Utilizando as equações de Maxwell, verifique se os campos descritos abaixo podem existir no espaço livre. (2,0 pontos).
Passo 1
O enunciado nos dá os campos elétrico e magnético (no espaço livre) como:
A pergunta é: verificar se esses campos podem existir no espaço livre.
Informações relevantes (espaço livre):
Informações relevantes (espaço livre):
- cargas e correntes nulas:
. - leis constitutivas:
, . - equações diferenciais de Maxwell no vácuo que vamos usar:
Vou verificar cada uma delas aplicando aos campos fornecidos.
Passo 2
Verificação de
.
Escrevendo
com
. A divergência é
Calcule a derivada parcial:
Portanto
Isto NÃO é identicamente zero para todos
(a menos de
). Como a lei de Gauss no vácuo exige
, já temos uma contradição para
.
Passo 3
Verificação de
.
Primeiro obtenha
. Como
, segue
A divergência de
é
Mas
depende somente de
e
, não de
. Logo
Portanto a condição
é satisfeita.
Passo 4
Verificação de
.
Como
e
depende só de
e
, os componentes do rotacional são
Mas
, então todas as derivadas espaciais envolvidas são zero e
Agora calcule
. Com
,
Assim
Comparando com
, a igualdade
exigiria
o que novamente só ocorre para todo
se
. Logo, para
a equação de Faraday é violada.
Passo 5
Verificação de
.
Escrevendo
com
. O rotacional tem componentes
Como
, apenas o segundo componente pode ser não nulo:
Calcule
:
Portanto
Agora a derivada temporal de
:
dá
O lado esquerdo (
) é um vetor alinhado com
(direção
), enquanto o lado direito é alinhado com
(direção
). Não há como os dois vetores serem iguais para
. Logo a equação de Ampère-Maxwell também é violada para
.
Passo 6
Conclusão e interpretação didática (resumindo o que foi achado e o porquê).
- A condição
falha porque em geral. Isso significa que o campo elétrico dado corresponde a uma distribuição de carga volumétrica não nula, o que contradiz a hipótese de vácuo sem cargas. - A equação de Faraday
falha porque o rotacional de é nulo enquanto é um vetor não nulo na direção . - A equação de Ampère-Maxwell falha porque
aponta em enquanto aponta em ; os dois lados têm direções diferentes e não se igualam. - A única maneira de eliminar todas as contradições simultaneamente é tomar
, caso trivial em que ambos os campos são nulos.
Portanto, exceto pelo caso trivial
, os campos fornecidos NÃO satisfazem as equações de Maxwell no espaço livre e, logo, não podem existir no vácuo.
Resposta
Não — os campos não satisfazem as equações de Maxwell no vácuo para
; apenas o caso trivial
é compatível.