Uma onda progressiva com amplitude de 7,70 \mathrm{~mm} e potência média de 36,8 \mathrm{~W} esta se propagando em uma corda (de 2,70 \mathrm{~m} de comprimento, massa de 260 g ) submetida a uma tensão de 36,0 \mathrm{~N}.
Qual a frequência dessas ondas?
Passo 1
O que o problema pede: encontrar a frequência das ondas que se propagam na corda.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado, convertendo unidades quando necessário):
amplitude: A = 7{,}70\\ \mathrm{mm} (vou converter para metros mais adiante);
potência média transportada pela onda: P = 36{,}8\\ \mathrm{W};
comprimento da corda: L = 2{,}70\\ \mathrm{m};
massa da corda: m = 260\\ \mathrm{g} (vou converter para kg);
tensão na corda: T = 36{,}0\\ \mathrm{N}.
Observação: a corda está sendo descrita por sua massa total e comprimento, então a densidade linear de massa \mu será calculada por \mu = m/L.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada termo):
Densidade linear de massa:
\mu = \frac{m}{L}
onde \mu tem unidade \mathrm{kg/m}, m é a massa total da corda em \mathrm{kg} e L é o comprimento em \mathrm{m}.
Velocidade de propagação de uma onda transversal em uma corda tensionada:
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}
onde T é a tensão (em \mathrm{N}) e v fica em \mathrm{m/s}. Intuição: quanto maior a tensão, mais rápido a onda; quanto maior a massa por comprimento, mais lenta.
Potência média transportada por uma onda senoidal progressiva numa corda:
\overline{P}=\frac{1}{2}\,\mu\,\omega^{2}A^{2}v
onde
\overline{P} é a potência média (W),
\mu é a densidade linear (kg/m),
\omega é a pulsação angular (rad/s),
A é a amplitude (m),
v é a velocidade de propagação (m/s).
Explicando \omega: para uma onda harmônica, \omega e a frequência f estão ligados por
\omega = 2\pi f.
Essa fórmula da potência pode ser entendida assim: a energia cinética e potencial transportada por cada pequena porção da corda varia com \omega^{2}A^{2} e a taxa de transporte dessa energia envolve v e a massa por comprimento \mu. Não precisa decorar intuitivamente: a forma prática é saber usar a fórmula.
Passo 3
Substituímos \omega = 2\pi f na expressão da potência para escrever \overline{P} em função de f:
Essa é a expressão que vamos usar para calcular numericamente f. Observe que todas as quantidades no radicando devem estar no SI (metros, kg, segundos).
Passo 5
Fazendo as conversões e calculando \mu:
Converter massa para kg: m = 260\\ \mathrm{g} = 0{,}260\\ \mathrm{kg}.