Uma onda progressiva com amplitude de 7,70 \mathrm{~mm} e potência média de 36,8 \mathrm{~W} esta se propagando em uma corda (de 2,70 \mathrm{~m} de comprimento, massa de 260 g ) submetida a uma tensão de 36,0 \mathrm{~N}.
Qual a frequência dessas ondas?

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a frequência das ondas que se propagam na corda.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado, convertendo unidades quando necessário):
  • amplitude: A = 7{,}70\\ \mathrm{mm} (vou converter para metros mais adiante);
  • potência média transportada pela onda: P = 36{,}8\\ \mathrm{W};
  • comprimento da corda: L = 2{,}70\\ \mathrm{m};
  • massa da corda: m = 260\\ \mathrm{g} (vou converter para kg);
  • tensão na corda: T = 36{,}0\\ \mathrm{N}.
Observação: a corda está sendo descrita por sua massa total e comprimento, então a densidade linear de massa \mu será calculada por \mu = m/L.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada termo):
  1. Densidade linear de massa:
\mu = \frac{m}{L}
onde \mu tem unidade \mathrm{kg/m}, m é a massa total da corda em \mathrm{kg} e L é o comprimento em \mathrm{m}.
  1. Velocidade de propagação de uma onda transversal em uma corda tensionada:
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}
onde T é a tensão (em \mathrm{N}) e v fica em \mathrm{m/s}. Intuição: quanto maior a tensão, mais rápido a onda; quanto maior a massa por comprimento, mais lenta.
  1. Potência média transportada por uma onda senoidal progressiva numa corda:
\overline{P}=\frac{1}{2}\,\mu\,\omega^{2}A^{2}v
onde
  • \overline{P} é a potência média (W),
  • \mu é a densidade linear (kg/m),
  • \omega é a pulsação angular (rad/s),
  • A é a amplitude (m),
  • v é a velocidade de propagação (m/s).
Explicando \omega: para uma onda harmônica, \omega e a frequência f estão ligados por
\omega = 2\pi f.
Essa fórmula da potência pode ser entendida assim: a energia cinética e potencial transportada por cada pequena porção da corda varia com \omega^{2}A^{2} e a taxa de transporte dessa energia envolve v e a massa por comprimento \mu. Não precisa decorar intuitivamente: a forma prática é saber usar a fórmula.

Passo 3

Substituímos \omega = 2\pi f na expressão da potência para escrever \overline{P} em função de f:
\overline{P}=\frac{1}{2}\,\mu\,(2\pi f)^{2}A^{2}v.
Desenvolvendo (2\pi f)^{2}:
\overline{P}=\frac{1}{2}\,\mu\,4\pi^{2}f^{2}A^{2}v = 2\pi^{2}\,\mu\,A^{2}f^{2}v.
Agora substituímos v=\sqrt{T/\mu} para eliminar v e deixar a expressão em termos de f, A, T e \mu:
\overline{P}=2\pi^{2}\,\mu\,A^{2}f^{2}\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Simplificando \mu\sqrt{\frac{1}{\mu}}=\sqrt{\mu}, obtemos
\overline{P}=2\pi^{2}A^{2}f^{2}\sqrt{\mu T}.

Passo 4

Isolamos f na expressão acima. A equação é
\overline{P}=2\pi^{2}A^{2}f^{2}\sqrt{\mu T}.
Portanto
f^{2}=\frac{\overline{P}}{2\pi^{2}A^{2}\sqrt{\mu T}}
e
f=\sqrt{\frac{\overline{P}}{2\pi^{2}A^{2}\sqrt{\mu T}}}.
Essa é a expressão que vamos usar para calcular numericamente f. Observe que todas as quantidades no radicando devem estar no SI (metros, kg, segundos).

Passo 5

Fazendo as conversões e calculando \mu:
  • Converter massa para kg: m = 260\\ \mathrm{g} = 0{,}260\\ \mathrm{kg}.
  • Densidade linear:
\mu = \frac{m}{L} = \frac{0{,}260}{2{,}70}\\ \mathrm{kg/m} = 0{,}0962962963\\ \mathrm{kg/m}.
  • Converter amplitude para metros:
A = 7{,}70\\ \mathrm{mm} = 7{,}70\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} = 0{,}00770\\ \mathrm{m}.
  • Já temos T = 36{,}0\\ \mathrm{N} e \overline{P}=36{,}8\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Calcular \sqrt{\mu T}:
\mu T = 0{,}0962962963\times 36{,}0 = 3{,}4666666667
\sqrt{\mu T} \approx 1{,}8616\\ \text{(unidade: }\mathrm{kg/s}\text{, mas usada dentro da fórmula)}.ó
Calcular o denominador 2\pi^{2}A^{2}\sqrt{\mu T}:
Primeiro A^{2}:
A^{2} = (0{,}00770)^{2} = 5{,}929\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora
2\pi^{2}A^{2} = 2\cdot \pi^{2}\cdot 5{,}929\times 10^{-5}\approx 1{,}17034\times 10^{-3}.
Multiplicando por \sqrt{\mu T}:
2\pi^{2}A^{2}\sqrt{\mu T} \approx 1{,}17034\times 10^{-3}\times 1{,}8616 \approx 2{,}1786\times 10^{-3}.

Passo 7

Calcular f^{2} e f:
f^{2}=\frac{\overline{P}}{2\pi^{2}A^{2}\sqrt{\mu T}} \approx \frac{36{,}8}{2{,}1786\times 10^{-3}} \approx 1{,}6896\times 10^{4}.
f \approx \sqrt{1{,}6896\times 10^{4}} \approx 130{,}0\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando com três dígitos significativos (os dados têm tipicamente três digitos relevantes), temos f\approx 130\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

130\\ \mathrm{Hz}

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