Uma onda progressiva com amplitude de
e potência média de
esta se propagando em uma corda (de
de comprimento, massa de 260 g ) submetida a uma tensão de
.
Qual a potência máxima?
Qual a potência máxima?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e faz a seguinte pergunta:
Dados:
Pergunta:
Qual a potência máxima?
Qual a potência máxima?
Passo 2
O que vamos precisar entender (passo a passo, sem pular etapas): para uma onda transversal senoidal numa corda, a potência instantânea transportada em um ponto pode ser escrita em função da tensão da corda e das derivadas da função de deslocamento. Considere uma onda senoidal progressiva do tipo
Aqui:
Passo 3
Derivando a expressão para a potência instantânea:
A força transversal na corda, devido à tensão , é aproximadamente
. A velocidade transversal é
. A potência instantânea (taxa de trabalho) transmitida para a direita é produto da força transversal pelo componente de velocidade transversal:
A força transversal na corda, devido à tensão
Agora calcule as derivadas para
:
Derivada espacial:
Derivada temporal:
Substituindo em
(sem misturar texto dentro da fórmula):
Agora simplifique (os sinais negativos se cancelam e
):
Passo 4
Interpretando
:
A expressão mostra que a potência instantânea oscila no tempo conforme . O valor máximo ocorre quando
, portanto a potência máxima é
A expressão mostra que a potência instantânea oscila no tempo conforme
O valor médio ao longo do tempo usa
, logo
Comparando as duas expressões obtemos uma relação simples e muito útil (independente de
e
, portanto independente dos detalhes de frequência):
Isso é razoável: a potência instantânea varia entre zero e o dobro da média para uma dependência
.
Passo 5
Aplicando ao caso numérico:
O enunciado já nos deu . Pela relação direta,
O enunciado já nos deu
Observação amigável: eu mostrei a derivação completa acima para você entender de onde vem a relação
. Note que, apesar do enunciado trazer
,
,
e
, para encontrar a potência máxima a partir da potência média não precisamos calcular velocidade de propagação nem frequência — bastou usar a dependência temporal
da potência instantânea.