Uma onda progressiva com amplitude de 7,70 \mathrm{~mm} e potência média de 36,8 \mathrm{~W} esta se propagando em uma corda (de 2,70 \mathrm{~m} de comprimento, massa de 260 g ) submetida a uma tensão de 36,0 \mathrm{~N}.
Qual a potência máxima?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e faz a seguinte pergunta:
Dados:
A = 7,70\\ \mathrm{mm} = 7,70\times10^{-3}\\ \mathrm{m}
P_{\text{méd}} = 36,8\\ \mathrm{W}é
L = 2,70\\ \mathrm{m}
m = 260\\ \mathrm{g} = 0,260\\ \mathrm{kg}
T = 36,0\\ \mathrm{N}
Pergunta:
Qual a potência máxima?

Passo 2

O que vamos precisar entender (passo a passo, sem pular etapas): para uma onda transversal senoidal numa corda, a potência instantânea transportada em um ponto pode ser escrita em função da tensão da corda e das derivadas da função de deslocamento. Considere uma onda senoidal progressiva do tipo
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
Aqui:
A é a amplitude (em metros), k é o número de onda (em \mathrm{m^{-1}}), e \omega é a frequência angular (em \mathrm{s^{-1}}). Vou explicar como obter a potência instantânea usando essa forma concreta.

Passo 3

Derivando a expressão para a potência instantânea:
A força transversal na corda, devido à tensão \;T\;, é aproximadamente -T\,\partial y/\partial x. A velocidade transversal é \partial y/\partial t. A potência instantânea (taxa de trabalho) transmitida para a direita é produto da força transversal pelo componente de velocidade transversal:
P(t) = -T\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t}.
Agora calcule as derivadas para y(x,t)=A\sin(kx-\omega t):
Derivada espacial:
\frac{\partial y}{\partial x}=A k \cos(kx-\omega t).
Derivada temporal:
\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega \cos(kx-\omega t).
Substituindo em P(t) (sem misturar texto dentro da fórmula):
P(t) = -T\bigl(A k \cos(kx-\omega t)\bigr)\bigl(-A\omega \cos(kx-\omega t)\bigr).
Agora simplifique (os sinais negativos se cancelam e \cos\cdot\cos=\cos^2):
P(t)=T A^2 k\omega \cos^2(kx-\omega t).

Passo 4

Interpretando P(t):
A expressão mostra que a potência instantânea oscila no tempo conforme \cos^2. O valor máximo ocorre quando \cos^2(kx-\omega t)=1, portanto a potência máxima é
P_{\max}=T A^2 k\omega.
O valor médio ao longo do tempo usa \langle\cos^2\rangle=1/2, logo
P_{\text{méd}}=\frac{1}{2}T A^2 k\omega.é
Comparando as duas expressões obtemos uma relação simples e muito útil (independente de k e \omega, portanto independente dos detalhes de frequência):
P_{\max}=2\,P_{\text{méd}}.é
Isso é razoável: a potência instantânea varia entre zero e o dobro da média para uma dependência \cos^2.

Passo 5

Aplicando ao caso numérico:
O enunciado já nos deu \;P_{\text{méd}}=36,8\\ \mathrm{W}é. Pela relação direta,
P_{\max}=2\cdot P_{\text{méd}}=2\cdot 36,8\\ \mathrm{W}=73,6\\ \mathrm{W}.é
Observação amigável: eu mostrei a derivação completa acima para você entender de onde vem a relação P_{\max}=2P_{\text{méd}}é. Note que, apesar do enunciado trazer A, m, L e T, para encontrar a potência máxima a partir da potência média não precisamos calcular velocidade de propagação nem frequência — bastou usar a dependência temporal \cos^2 da potência instantânea.

Resposta

73,6\\ \mathrm{W}

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