Uma onda se propaga em uma corda que tem 2,7 \mathrm{~m} de comprimento e 260 g de massa. A tensão da corda é 36 N . Determine qual deve ser a frequência de ondas progressivas com uma amplitude de 7,7 \mathrm{~mm} para que a potência media seja 85 W .
\begin{aligned} & \text { Equaçöes: } \\\ & V=\lambda f \quad \mu=\frac{m}{L} \quad v=\sqrt{\frac{\tau}{\mu}} \quad y^{\prime}(x, t)=\left(2 y_{m} \cos \frac{1}{2} \varphi\right) \operatorname{sen}\left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \varphi\right) \\\ & y(x, t)=y_{m} \operatorname{sen}(k x-\omega t+\varphi) \\\ & y(x, t)=y_{m} \operatorname{sen}(k x-\omega t) \\\ & k=\frac{2 \pi}{\lambda} \\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} \\\ & P_{\text {méd }}=\frac{1}{2}\left(\mu v \omega^{2} y m^{2}\right) \\\ & y^{\prime}(x, t)=\left(2 y_{m} \operatorname{sen} k x\right) \cos \omega t \\\ & \omega=\frac{2 \pi}{T} \\\ & f=\frac{1}{T} \\\ & v=\frac{\omega}{k} \\\ & \begin{array}{c} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} \\\ \Delta E_{\text {med }}=\frac{1}{2}\left(\mu v \omega^{2} y m^{2}\right) \Delta t \end{array} \\\ & k x=n \pi \quad k x=\left(n+\frac{1}{2}\right) \pi \\\ & \left(\frac{d K}{d t}\right)_{m e ́ d}=\frac{1}{4}\left(\mu v \omega^{2} y_{m}{ }^{2}\right) \\\ & y^{\prime}(x, t)=2 y_{m} \operatorname{sen}(k x-\omega t) \end{aligned}çöé

Passo 1

O enunciado dá uma corda de comprimento L=2{,}7\\ \mathrm{m} e massa m=0{,}260\\ \mathrm{kg}, com tensão \tau=36\\ \mathrm{N}, e amplitude das ondas y_{m}=7{,}7\\ \mathrm{mm}. Pede a frequência f de ondas progressivas para que a potência média seja P_{\text{méd}}=85\\ \mathrm{W}é. Vamos usar o conceito de ondas em corda (velocidade, densidade linear) e a fórmula da potência média em uma corda vibrante.

Passo 2

Calculamos a densidade linear de massa \mu e a velocidade de propagação v.
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0,260}{2,7}\approx0,0963\\ \mathrm{kg/m},
v=\sqrt{\frac{\tau}{\mu}} =\sqrt{\frac{36}{0,0963}}\approx19{,}3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

A potência média transmitida por uma onda progressiva em corda é dada por
P_{\text{méd}} =\frac{1}{2}\,\mu\,v\,\omega^{2}\,y_{m}^{2},é
onde \omega=2\pi f.

Passo 4

Substituindo \omega=2\pi f na expressão de P_{\text{méd}}é e isolando f, obtemos
85 =\frac12\,\mu\,v\,(2\pi f)^{2}\,y_{m}^{2} \quad\Longrightarrow\quad f^{2} =\frac{85}{\tfrac12\,\mu\,v\,(2\pi)^{2}\,y_{m}^{2}} \quad\Longrightarrow\quad f =\sqrt{\frac{85}{\tfrac12\,\mu\,v\,(2\pi)^{2}\,y_{m}^{2}}}\,.

Passo 5

Agora fazemos o cálculo numérico, lembrando de converter y_{m}=7{,}7\\ \mathrm{mm}=0{,}0077\\ \mathrm{m}:
\tfrac12\,\mu\,v =0{,}5\times0{,}0963\times19{,}3\approx0{,}930, \quad (2\pi)^{2}\approx39{,}48, \quad y_{m}^{2}=(0{,}0077)^{2}\approx5{,}93\times10^{-5},
f =\sqrt{\frac{85}{0{,}930\times39{,}48\times5{,}93\times10^{-5}}} \approx\sqrt{3,90\times10^{4}} \approx198\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

A frequência necessária é aproximadamente 198\\ \mathrm{Hz}.

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