Uma bobina retangular plana com 50 espiras possui dimensões de 25,0 \mathrm{~cm} por 30,0 \mathrm{~cm}. Ela está em um campo magnético uniforme, de 1,20 \mathrm{~T}, com o seu plano no sentido paralelo em relação ao campo. Em 0,222 s, ela gira de modo que o seu plano fique perpendicular ao campo. (a) Qual é a variação no fluxo magnético através da bobina produzida por essa rotação? (b) Determine o módulo da fem induzida média na bobina durante essa rotação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a variação do fluxo magnético através da bobina quando ela gira de ter o plano paralelo ao campo para o plano perpendicular ao campo; (b) o módulo da fem induzida média na bobina durante essa rotação.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
\text{Número de espiras: }N=50ú
\text{Dimensões da bobina: }25{,}0\\ \mathrm{cm}\times 30{,}0\\ \mathrm{cm}õ
\text{Campo magnético: }B=1{,}20\\ \mathrm{T}é
\text{Tempo da rotação: }\Delta t=0{,}222\\ \mathrm{s}çã
Observação importante sobre a orientação inicial e final (vou usar isso depois): o enunciado diz que o plano da bobina está inicialmente paralelo ao campo e que passa a ficar perpendicular ao campo. Vou usar essa informação ao calcular os ângulos entre o vetor campo e a normal da superfície da bobina.

Passo 2

O que é fluxo magnético e como calculamos: vou ensinar passo a passo.
Definição: o fluxo magnético através de uma superfície plana é dado por
\Phi = B\,A\cos\theta,
onde:
  • \Phi é o fluxo magnético (unidade: weber, \mathrm{Wb});
  • B é a magnitude do campo magnético (em \mathrm{T});
  • A é a área da superfície (em \mathrm{m}^2);
  • \theta é o ângulo entre o vetor campo \mathbf{B} e a normal à superfície (ou seja, se a normal estiver alinhada com \mathbf{B}, \theta=0).
    Explicação intuitiva: quando a normal da bobina está paralela ao campo ( \theta=0) o campo “atravessa” totalmente a área e o fluxo é máximo BA; quando a normal está perpendicular ao campo ( \theta=90^\circ) o campo passa paralelo ao plano e não atravessa a superfície, então o fluxo é zero. Atenção: o ângulo \theta é entre \mathbf{B} e a normal, não entre \mathbf{B} e o plano.

Passo 3

Converter dimensões para metros e calcular a área A.
As dimensões dadas são 25{,}0\\ \mathrm{cm} e 30{,}0\\ \mathrm{cm}. Converter:
25{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}250\\ \mathrm{m},\qquad 30{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}300\\ \mathrm{m}.
A área da bobina (retangular) é produto dos lados:
A=(0{,}250\\ \mathrm{m})(0{,}300\\ \mathrm{m})=0{,}0750\\ \mathrm{m}^2.
Vou manter três algarismos significativos consistentes com os dados: A=0{,}0750\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Determinar o fluxo magnético inicial \Phi_i.
O enunciado fala que o plano da bobina está inicialmente paralelo ao campo. Se o plano está paralelo a \mathbf{B}, a normal da superfície está perpendicular a \mathbf{B}; portanto o ângulo entre \mathbf{B} e a normal é \theta_i=90^\circ. Usando a fórmula do fluxo:
\Phi_i = B A \cos\theta_i = B A \cos 90^\circ = B A \cdot 0 = 0.
Conclusão: o fluxo inicial através de cada volta é \Phi_i=0\\ \mathrm{Wb}.

Passo 5

Determinar o fluxo magnético final \Phi_f.
Depois da rotação, o plano fica perpendicular ao campo, então a normal fica paralela ao campo; o ângulo entre \mathbf{B} e a normal é \theta_f=0^\circ. Assim:
\Phi_f = B A \cos\theta_f = B A \cos 0^\circ = B A \cdot 1 = B A.
Substituindo B=1{,}20\\ \mathrm{T} e A=0{,}0750\\ \mathrm{m}^2:
\Phi_f = (1{,}20)(0{,}0750)\\ \mathrm{Wb}.
Calculemos:
\Phi_f = 0{,}0900\\ \mathrm{Wb}.

Passo 6

Calcular a variação do fluxo magnético \Delta\Phi (parte a).
A variação por volta é
\Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i = 0{,}0900\\ \mathrm{Wb}-0 = 0{,}0900\\ \mathrm{Wb}.
Interpretação: cada espira teve aumento de fluxo de 9{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{Wb}.

Passo 7

Explicar a lei relevante para a fem induzida (aula rápida).
A lei que relaciona variação de fluxo com força eletromotriz induzida é a lei de Faraday (versão para N espiras):
\mathcal{E} = -N\,\frac{\Delta\Phi}{\Delta t},
onde:
  • \mathcal{E} é a fem induzida (em volts);
  • N é o número de espiras;
  • \Delta\Phi é a variação de fluxo por espira;
  • \Delta t é o intervalo de tempo no qual ocorreu a variação.
    O sinal menos é a lei de Lenz que indica a direção da fem (oposta à variação do fluxo). Como o enunciado pede o módulo da fem média, usaremos
|\mathcal{E}_{\text{média}}| = N\,\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}.é

Passo 8

Calcular a fem média usando os valores numéricos (parte b).
Usando N=50, |\Delta\Phi|=0{,}0900\\ \mathrm{Wb} e \Delta t=0{,}222\\ \mathrm{s}:
|\mathcal{E}_{\text{média}}| = 50\cdot\frac{0{,}0900}{0{,}222}\\ \mathrm{V}.é
Primeiro calcule o numerador:
50\cdot 0{,}0900 = 4{,}50.
Agora divida por 0{,}222:
|\mathcal{E}_{\text{média}}| = \frac{4{,}50}{0{,}222}\\ \mathrm{V}\approx 20{,}27\\ \mathrm{V}.é
Com três algarismos significativos (coerente com os dados), escrevemos 20{,}3\\ \mathrm{V}.

Passo 9

Resumo e verificação rápida (confere plausibilidade).
  • A variação de fluxo por espira é positiva porque o fluxo aumentou de zero para BA.
  • A fem média é da ordem de dezenas de volts, o que faz sentido porque são 50 espiras e a variação de fluxo é relativamente grande num tempo curto.
    Força-se a lembrar que, se a pergunta pedisse a fem instantânea, precisaríamos da dependência temporal do ângulo; aqui pediram a fem média, então a fórmula com \Delta\Phi/\Delta t é suficiente.

Resposta

(a) \Delta\Phi=0{,}0900\\ \mathrm{Wb}.
(b) |\mathcal{E}_{\text{média}}|=20{,}3\\ \mathrm{V}.é

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