1. Uma onda transversal em uma corda possui velocidade de 8,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, amplitude de 0,0700 \mathrm{~m} e comprimento de onda igual a 0,320 \mathrm{~m}. A onda se move no sentido - x para t=0 a extremidade x=0 da corda possui deslocamento nulo e se move no sentido +y . a) Ache a frequência, o período e o número de onda desta onda. b) Ache a função de onda que descreve esta onda. c) Calcule o deslocamento transversal de uma partícula situada no ponto x=0,360 \mathrm{~m} no instante t=0,150 \mathrm{~s}. d) A partir do instante calculado no item (c), quanto tempo a partícula situada no ponto x=0,360 \mathrm{~m} leva para atingir o deslocamento máximo para cima?

Passo 1

O enunciado dá uma onda transversal numa corda com as seguintes informações (vou listar exatamente o que está dado e o que se pede):
Dados:
v=8,00\\ \mathrm{m/s},\qquad A=0,0700\\ \mathrm{m},\qquad \lambda=0,320\\ \mathrm{m}.
A onda se move no sentido negativo de x (isto é, para -x). Para t=0 a extremidade x=0 tem deslocamento nulo e está se movendo para cima (sentido +y).
Perguntas:
a) Ache a frequência, o período e o número de onda.
b) Ache a função de onda que descreve esta onda.
c) Calcule o deslocamento transversal de uma partícula no ponto x=0,360\\ \mathrm{m} no instante t=0,150\\ \mathrm{s}.
d) A partir do instante do item (c), quanto tempo essa partícula leva para atingir o deslocamento máximo para cima?

Passo 2

Vamos ao item (a): usar relações básicas de ondas harmônicas.
Fórmulas e o que cada símbolo significa:
  • v é a velocidade de propagação da onda (m/s).
  • \lambda é o comprimento de onda (m).
  • f é a frequência (Hz), ligada por f=\dfrac{v}{\lambda}.
  • T é o período (s), ligado por T=\dfrac{1}{f}.
  • k é o número de onda (rad/m), ligado por k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
Calculemos f:
f=\frac{v}{\lambda}=\frac{8,00}{0,320}=25,0\\ \mathrm{Hz}.
Agora o período T:
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{25,0}=0,0400\\ \mathrm{s}.
E o número de onda k:
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0,320}\approx 19,634954\\ \mathrm{rad/m}\\ (\text{vou usar }19,63\\ \mathrm{rad/m}\text{ com 3 s.f.}).

Passo 3

Para nos ajudar a escrever a função da onda convém calcular também a frequência angular \omega, definida por \omega=2\pi f. Aqui:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 25,0=50\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 157,07963\\ \mathrm{rad/s},
vou usar \omega\approx 157,08\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação curta: \omega é a taxa de variação temporal da fase da onda, útil para escrever y(x,t).

Passo 4

Item (b) — escolher a forma geral da função de onda e determinar a fase inicial.
Forma geral para uma onda harmônica de amplitude A que se desloca no sentido -x é (uma forma padrão):
y(x,t)=A\sin\bigl(kx+\omega t+\varphi\bigr),
onde \varphi é a fase inicial (constante). Observação: o sinal + no termo com kx+\omega t faz a fase aumentar com o tempo para posições fixas e, por convenção, corresponde a uma onda que se desloca no sentido negativo de x.
Agora use as condições em x=0 e t=0:
  • O deslocamento é nulo: y(0,0)=0 implica A\sin(\varphi)=0. Como A\neq 0, temos \sin(\varphi)=0, então \varphi=0 ou \varphi=\pi (mais genéricas: \varphi=n\pi).
  • A velocidade transversal (derivada temporal) em x=0,t=0 é positiva (movendo-se para +y). Vamos checar o sinal de \partial y/\partial t.
Calcule a velocidade transversal:
\frac{\partial y}{\partial t}(x,t)=A\omega\cos\bigl(kx+\omega t+\varphi\bigr).
Em x=0,t=0:
\frac{\partial y}{\partial t}(0,0)=A\omega\cos(\varphi).
Como A>0 e \omega>0, o sinal dessa expressão é o sinal de \cos(\varphi). Queremos que ela seja positiva. Entre as duas possibilidades \varphi=0 e \varphi=\pi:
  • Se \varphi=0 então \cos(0)=1>0 (velocidade para cima), ok.
  • Se \varphi=\pi então \cos(\pi)=-1<0 (velocidade para baixo), não aceitável.
Portanto escolhemos \varphi=0.

Passo 5

Assim a função de onda (item b) fica substituindo A,\\ k,\\ \omega,\\ \varphi:
y(x,t)=0,0700\\ \sin\bigl(19,634954\,x + 157,079633\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.
Para apresentar com valores arredondados razoáveis:
y(x,t)=0,0700\\ \sin\bigl(19,63\,x + 157,08\,t\bigr)\\ \mathrm{m},
onde x está em metros e t em segundos.

Passo 6

Item (c) — calcular o deslocamento em x=0,360\\ \mathrm{m} e t=0,150\\ \mathrm{s}.
Primeiro calcule a fase naquele ponto/instante:
kx=19,634954\cdot 0,360\approx 7,068583,
\omega t=157,079633\cdot 0,150\approx 23,5619449.
Somando,
\phi_0=kx+\omega t\approx 7,068583+23,5619449=30,630528\\ \text{rad}.
Para facilitar a avaliação do seno reduzimos a fase módulo 2\pi. Note que
2\pi\approx 6,283185307,
e 30,630528-4\cdot 2\pi=30,630528-25,132741228\approx 5,497787\\ \text{rad}.
Observação útil: 5,497787\\ \text{rad}=2\pi-\tfrac{\pi}{4} (ou seja, é equivalente a -\tfrac{\pi}{4} modulo 2\pi). Logo
\sin(5,497787)=\sin\bigl(2\pi-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,70710678.
Portanto o deslocamento é
y(0,360,\;0,150)=A\sin(\phi_0)=0,0700\cdot(-0,70710678)\approx -0,0494975\\ \mathrm{m}.
Arredondando com boa precisão:
y(0,360,\;0,150)\approx -0,0495\\ \mathrm{m}.
(O sinal negativo indica que a partícula está abaixo da linha de equilíbrio naquele instante.)

Passo 7

Item (d) — quanto tempo, a partir de t=0,150\\ \mathrm{s}, a partícula em x=0,360\\ \mathrm{m} leva para atingir o deslocamento máximo para cima?
Condição para deslocamento máximo para cima: y=A, isto é \sin(\text{fase})=1. Logo queremos o menor \Delta t>0 tal que
\phi_0+\omega\Delta t=\frac{\pi}{2}+2\pi n,
para algum inteiro n. Isolando \Delta t:
\Delta t=\frac{\tfrac{\pi}{2}+2\pi n-\phi_0}{\omega}.
Em vez de testar vários n, podemos usar a forma reduzida da fase que já calculamos: \phi_0 reduzida modulo 2\pi vale 5,497787\\ \text{rad}, que é equivalente a -\tfrac{\pi}{4}. Para chegar até \tfrac{\pi}{2} precisamos aumentar a fase em
\Delta\varphi=\frac{\pi}{2}-\bigl(-\frac{\pi}{4}\bigr)=\frac{3\pi}{4}=2,35619449\\ \text{rad}.
Assim
\Delta t=\frac{\Delta\varphi}{\omega}=\frac{2,35619449}{157,079633}\approx 0,0150000\\ \mathrm{s}.
Portanto a partícula leva 0,0150\\ \mathrm{s} (15 ms) a partir de t=0,150\\ \mathrm{s} para atingir o máximo para cima. (Se quiser o instante absoluto: t=0,150+0,015=0,165\\ \mathrm{s}.)

Resposta

a) f=25,0\\ \mathrm{Hz}, T=0,0400\\ \mathrm{s}, k\approx 19,63\\ \mathrm{rad/m}.
b) y(x,t)=0,0700\\ \sin\bigl(19,63\,x + 157,08\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.
c) y(0,360,\;0,150)\approx -0,0495\\ \mathrm{m}.
d) \Delta t\approx 0,0150\\ \mathrm{s} (tempo a partir de t=0,150\\ \mathrm{s} para atingir o máximo para cima).

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