- Uma onda transversal em uma corda possui velocidade de
, amplitude de
e comprimento de onda igual a
. A onda se move no sentido -
para
a extremidade
da corda possui deslocamento nulo e se move no sentido +y . a) Ache a frequência, o período e o número de onda desta onda. b) Ache a função de onda que descreve esta onda. c) Calcule o deslocamento transversal de uma partícula situada no ponto
no instante
. d) A partir do instante calculado no item (c), quanto tempo a partícula situada no ponto
leva para atingir o deslocamento máximo para cima?
Passo 1
O enunciado dá uma onda transversal numa corda com as seguintes informações (vou listar exatamente o que está dado e o que se pede):
Dados:
A onda se move no sentido negativo de
(isto é, para
). Para
a extremidade
tem deslocamento nulo e está se movendo para cima (sentido
).
Perguntas:
a) Ache a frequência, o período e o número de onda.
b) Ache a função de onda que descreve esta onda.
c) Calcule o deslocamento transversal de uma partícula no ponto no instante
.
d) A partir do instante do item (c), quanto tempo essa partícula leva para atingir o deslocamento máximo para cima?
a) Ache a frequência, o período e o número de onda.
b) Ache a função de onda que descreve esta onda.
c) Calcule o deslocamento transversal de uma partícula no ponto
d) A partir do instante do item (c), quanto tempo essa partícula leva para atingir o deslocamento máximo para cima?
Passo 2
Vamos ao item (a): usar relações básicas de ondas harmônicas.
Fórmulas e o que cada símbolo significa:
-
é a velocidade de propagação da onda (m/s). -
é o comprimento de onda (m). -
é a frequência (Hz), ligada por . -
é o período (s), ligado por . -
é o número de onda (rad/m), ligado por .
Calculemos
:
Agora o período
:
E o número de onda
:
Passo 3
Para nos ajudar a escrever a função da onda convém calcular também a frequência angular
, definida por
. Aqui:
vou usar
.
Explicação curta:
é a taxa de variação temporal da fase da onda, útil para escrever
.
Passo 4
Item (b) — escolher a forma geral da função de onda e determinar a fase inicial.
Forma geral para uma onda harmônica de amplitude
que se desloca no sentido
é (uma forma padrão):
onde
é a fase inicial (constante). Observação: o sinal
no termo com
faz a fase aumentar com o tempo para posições fixas e, por convenção, corresponde a uma onda que se desloca no sentido negativo de
.
Agora use as condições em
e
:
- O deslocamento é nulo:
implica . Como , temos , então ou (mais genéricas: ). - A velocidade transversal (derivada temporal) em
é positiva (movendo-se para ). Vamos checar o sinal de .
Calcule a velocidade transversal:
Em
:
Como
e
, o sinal dessa expressão é o sinal de
. Queremos que ela seja positiva. Entre as duas possibilidades
e
:
- Se
então (velocidade para cima), ok. - Se
então (velocidade para baixo), não aceitável.
Portanto escolhemos
.
Passo 5
Assim a função de onda (item b) fica substituindo
:
Para apresentar com valores arredondados razoáveis:
onde
está em metros e
em segundos.
Passo 6
Item (c) — calcular o deslocamento em
e
.
Primeiro calcule a fase naquele ponto/instante:
Somando,
Para facilitar a avaliação do seno reduzimos a fase módulo
. Note que
e
Observação útil:
(ou seja, é equivalente a
modulo
). Logo
Portanto o deslocamento é
Arredondando com boa precisão:
(O sinal negativo indica que a partícula está abaixo da linha de equilíbrio naquele instante.)
Passo 7
Item (d) — quanto tempo, a partir de
, a partícula em
leva para atingir o deslocamento máximo para cima?
Condição para deslocamento máximo para cima:
, isto é
. Logo queremos o menor
tal que
para algum inteiro
. Isolando
:
Em vez de testar vários
, podemos usar a forma reduzida da fase que já calculamos:
reduzida modulo
vale
, que é equivalente a
. Para chegar até
precisamos aumentar a fase em
Assim
Portanto a partícula leva
(15 ms) a partir de
para atingir o máximo para cima. (Se quiser o instante absoluto:
.)
Resposta
a)
,
,
.
b)
c)
d) (tempo a partir de
para atingir o máximo para cima).
b)
c)
d)