- Uma onda transversal em uma corda tem frequência de
e uma amplitude de
. A corda possui uma massa de
e comprimento de
e está esticada a uma tensão de
. Determine a posição genérica
, suponha que
em
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a posição genérica
de uma onda transversal numa corda, usando as informações dadas. Dados fornecidos:
Também foi dito: "suponha que
em
". Vou interpretar isso como escolher a fase tal que a condição de referência no ponto
e instante
corresponde a deslocamento zero sem fase extra (ou seja, fase inicial nula), o que nos permite tomar uma forma simples da função de onda. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Primeiro precisamos da densidade linear de massa da corda,
(massa por unidade de comprimento). A definição é
onde
é a massa total e
o comprimento. Substituindo:
Explicação:
diz quanto de massa existe por cada metro da corda; ela entra na fórmula da velocidade da onda.
Passo 3
A velocidade de propagação de uma onda transversal numa corda tensa é dada pela fórmula
onde
é a tensão (força de tração) e
é a densidade linear. Essa fórmula vem do equilíbrio entre a força de tensão e a inércia da corda (não precisamos derivar aqui completamente, só entender que é a relação padrão). Substituindo os números:
Observação prática: é sempre bom checar unidades (N/(kg/m) = m2/s2 dentro da raiz, resultando em m/s).
Passo 4
Precisamos da frequência angular
porque a expressão da onda usa
. A relação entre frequência
e frequência angular
é
Substituindo:
Além disso, o período da onda é
. Explicação:
mede quantos radianos a fase avança por segundo; é o parâmetro temporal da onda.
Passo 5
Agora encontramos o número de onda
. A relação entre
,
e
é
Logo
A partir de
também podemos obter o comprimento de onda
:
Verificação rápida:
, consistente com o valor de
.
Passo 6
Forma geral de uma onda harmônica transversal que se propaga é
ou
onde:
-
é a amplitude (deslocamento máximo), -
é o número de onda (rad/m), -
é a frequência angular (rad/s), -
é a fase inicial (constante), - o sinal
com indica propagação no sentido positivo de (para a direita); o indica sentido contrário.
A escolha entre seno e cosseno e o valor dedependem das condições iniciais. O enunciado pediu para "suponha que em ". Interpretando isso como referência para fixar a fase de forma simples (ou seja, escolher a fase tal que a função seja zero em ), tomamos e a forma em seno. Assim a condição é satisfeita.
Passo 7
Substituindo os valores numéricos obtidos em
, temos
Portanto a posição genérica é
Explicação final: essa função descreve uma onda senoidal de amplitude
, que se propaga para
com velocidade
, comprimento de onda
e período
. Se a condição inicial fosse diferente (por exemplo, deslocamento máximo em
), escolheríamos cosseno ou uma fase
.