1. Uma onda transversal em uma corda tem frequência de 2,5 \mathrm{~Hz} e uma amplitude de 0,05 \mathrm{~m}. A corda possui uma massa de 1,6 \mathrm{~kg} e comprimento de 10,0 \mathrm{~m} e está esticada a uma tensão de 4,0 \mathrm{~N}. Determine a posição genérica Y(x, t), suponha que x=0 em t=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição genérica Y(x,t) de uma onda transversal numa corda, usando as informações dadas. Dados fornecidos:
f = 2{,}5\\ \mathrm{Hz},\quad A = 0{,}05\\ \mathrm{m},\quad m = 1{,}6\\ \mathrm{kg},\quad L = 10{,}0\\ \mathrm{m},\quad T = 4{,}0\\ \mathrm{N}.
Também foi dito: "suponha que x=0 em t=0". Vou interpretar isso como escolher a fase tal que a condição de referência no ponto x=0 e instante t=0 corresponde a deslocamento zero sem fase extra (ou seja, fase inicial nula), o que nos permite tomar uma forma simples da função de onda. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Primeiro precisamos da densidade linear de massa da corda, \mu (massa por unidade de comprimento). A definição é
\mu=\frac{m}{L},
onde m é a massa total e L o comprimento. Substituindo:
\mu=\frac{1{,}6}{10{,}0}=0{,}16\\ \mathrm{kg/m}.
Explicação: \mu diz quanto de massa existe por cada metro da corda; ela entra na fórmula da velocidade da onda.

Passo 3

A velocidade de propagação de uma onda transversal numa corda tensa é dada pela fórmula
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão (força de tração) e \mu é a densidade linear. Essa fórmula vem do equilíbrio entre a força de tensão e a inércia da corda (não precisamos derivar aqui completamente, só entender que é a relação padrão). Substituindo os números:
v=\sqrt{\frac{4{,}0}{0{,}16}}=\sqrt{25}=5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Observação prática: é sempre bom checar unidades (N/(kg/m) = m2/s2 dentro da raiz, resultando em m/s).

Passo 4

Precisamos da frequência angular \omega porque a expressão da onda usa \omega. A relação entre frequência f e frequência angular \omega é
\omega = 2\pi f.
Substituindo:
\omega = 2\pi\cdot 2{,}5 = 5\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Além disso, o período da onda é T_{\text{per}}=1/f=0{,}4\\ \mathrm{s}. Explicação: \omega mede quantos radianos a fase avança por segundo; é o parâmetro temporal da onda.

Passo 5

Agora encontramos o número de onda k. A relação entre \omega, k e v é
\omega = v k.
Logo
k=\frac{\omega}{v}=\frac{5\pi}{5}=\pi\\ \mathrm{rad/m}.
A partir de k também podemos obter o comprimento de onda \lambda:
\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi} = 2{,}0\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida: v=f\lambda=2{,}5\cdot 2{,}0=5{,}0\\ \mathrm{m/s}, consistente com o valor de v.

Passo 6

Forma geral de uma onda harmônica transversal que se propaga é
Y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi)
ou
Y(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (deslocamento máximo),
  • k é o número de onda (rad/m),
  • \omega é a frequência angular (rad/s),
  • \varphi é a fase inicial (constante),
  • o sinal -\omega t com kx-\omega t indica propagação no sentido positivo de x (para a direita); o +\omega t indica sentido contrário.
    A escolha entre seno e cosseno e o valor de \varphi dependem das condições iniciais. O enunciado pediu para "suponha que x=0 em t=0". Interpretando isso como referência para fixar a fase de forma simples (ou seja, escolher a fase tal que a função seja zero em x=0,t=0), tomamos \varphi=0 e a forma em seno. Assim a condição Y(0,0)=A\sin(0)=0 é satisfeita.

Passo 7

Substituindo os valores numéricos obtidos em \;Y(x,t)=A\sin(kx-\omega t)\;, temos
A=0{,}05\\ \mathrm{m},\qquad k=\pi\\ \mathrm{rad/m},\qquad \omega=5\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Portanto a posição genérica é
Y(x,t)=0{,}05\sin\bigl(\pi x - 5\pi t\bigr)\\ \mathrm{m}.
Explicação final: essa função descreve uma onda senoidal de amplitude 0{,}05\\ \mathrm{m}, que se propaga para +x com velocidade 5{,}0\\ \mathrm{m/s}, comprimento de onda 2{,}0\\ \mathrm{m} e período 0{,}4\\ \mathrm{s}. Se a condição inicial fosse diferente (por exemplo, deslocamento máximo em x=0,t=0), escolheríamos cosseno ou uma fase \varphi\neq 0.

Resposta

Y(x,t)=0{,}05\sin\bigl(\pi x - 5\pi t\bigr)\\ \mathrm{m}

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