1. Um satélite de massa m=450 \mathrm{~kg} descreve uma órbita circular a uma distância de 10^{4} \mathrm{~km} do centro do planeta P de raio 0,5 \times 10^{4} \mathrm{~km} e massa M . i) Determine a velocidade do satélite nessa órbita. ii) Se o satélite perde, subitamente, metade da sua velocidade, com que velocidade atingirá a superfície do planeta?
    Considere o produto \mathrm{G} \cdot \mathrm{M}=10^{6} \mathrm{~km}^{3} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados:
    \;m=450\\ \mathrm{kg} (massa do satélite),
    \;r_0=10^{4}\\ \mathrm{km} (distância do satélite ao centro do planeta, ou seja, raio da órbita circular),
    \;R=0{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{km}=5\times10^{3}\\ \mathrm{km} (raio do planeta — distância da superfície ao centro; eu converti o produto dado),
    \;G\!M=10^{6}\\ \mathrm{km^{3}/s^{2}} (produto constante gravitacional do planeta).
  • Perguntas:
    i) Determine a velocidade do satélite enquanto descreve a órbita circular a \;r_0.
    ii) Se o satélite perde subitamente metade da sua velocidade orbital, qual será a velocidade com que atingirá a superfície do planeta (isto é, a velocidade ao chegar em r=R)?

Passo 2

Entendendo a velocidade na órbita circular: quando um corpo descreve uma órbita circular, a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta necessária. Escrevemos a igualdade entre módulo da força gravitacional e força centrípeta:
\frac{G M m}{r_0^2} = \frac{m v^2}{r_0}.
Aqui:
  • G é a constante gravitacional (multiplicada por M e já dada como G M);
  • M é a massa do planeta;
  • m é a massa do satélite (aparece dos dois lados e vai cancelar);
  • r_0 é o raio da órbita;
  • v é a velocidade orbital que queremos achar.
Simplificando (cancelando m e um fator r_0) obtemos a fórmula padrão da velocidade orbital circular:
v = \sqrt{\frac{G M}{r_0}}.

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos (tudo em km e s, compatível com G M dado):
v = \sqrt{\frac{10^{6}}{10^{4}}} = \sqrt{10^{2}} = 10\\ \mathrm{km/s}.
Portanto a velocidade na órbita circular é \;10\\ \mathrm{km/s}.

Passo 4

Quando o satélite perde subitamente metade da velocidade, sua nova velocidade naquele ponto (ainda em r_0) é
v_1 = \frac{v}{2} = \frac{10}{2} = 5\\ \mathrm{km/s}.
Esse impulso muda a energia do satélite; ele passa a ter uma energia mecânica específica (energia por unidade de massa) igual a soma da energia cinética por unidade de massa e da energia potencial gravitacional por unidade de massa. A energia específica é
\mathcal{E}=\frac{1}{2}v^2 - \frac{G M}{r}.
Aqui \mathcal{E} tem unidades de \mathrm{km^{2}/s^{2}}. Vamos calcular a energia específica imediatamente após a redução de velocidade, no ponto r_0:
\mathcal{E} = \frac{1}{2}v_1^2 - \frac{G M}{r_0} = \frac{1}{2}\cdot 5^{2} - \frac{10^{6}}{10^{4}}.
Calcule passo a passo:
\frac{1}{2}\cdot 5^{2} = \frac{1}{2}\cdot 25 = 12{,}5\\ \mathrm{km^{2}/s^{2}},
\frac{G M}{r_0} = \frac{10^{6}}{10^{4}} = 100\\ \mathrm{km^{2}/s^{2}},
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\mathcal{E} = 12{,}5 - 100 = -87{,}5\\ \mathrm{km^{2}/s^{2}}.

Passo 5

Agora usamos conservação de energia mecânica (assumindo que após a perda de velocidade não há mais forças dissipativas): a energia específica no ponto inicial (após o corte), \mathcal{E}, será igual à energia específica quando o satélite atingir a superfície em r=R. Então,
\frac{1}{2}v_f^2 - \frac{G M}{R} = \mathcal{E}.
Isolando v_f^2:
v_f^2 = 2\left(\mathcal{E} + \frac{G M}{R}\right).
Substituímos \mathcal{E}=-87{,}5\\ \mathrm{km^{2}/s^{2}} e \dfrac{G M}{R}=\dfrac{10^{6}}{5\times10^{3}}=200\\ \mathrm{km^{2}/s^{2}}:
v_f^2 = 2\bigl(-87{,}5 + 200\bigr) = 2\cdot 112{,}5 = 225\\ \mathrm{(km^{2}/s^{2})}.
Portanto
v_f = \sqrt{225} = 15\\ \mathrm{km/s}.
Uma forma alternativa e mais direta de ver essa conta é usar a identidade que surge da conservação de energia ao comparar dois raios r_0 e R:
\frac{1}{2}v_f^2 = \frac{1}{2}v_1^2 + G M\!\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_0}\right),
o que leva ao mesmo número:
v_f^2 = v_1^2 + 2G M\!\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_0}\right) = 25 + 200 = 225.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: depois de perder metade da velocidade orbital, o satélite não tem energia suficiente para permanecer em órbita e cai, atingindo a superfície com velocidade maior que a inicial orbitai (isso acontece porque a queda converte energia potencial em cinética). Resultado simples e bonito: as contas deram números inteiros e fáceis de checar. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no processo!

Resposta

i) 10\\ \mathrm{km/s}
ii) 15\\ \mathrm{km/s}

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