- Um satélite de massa
descreve uma órbita circular a uma distância de
do centro do planeta P de raio
e massa M . i) Determine a velocidade do satélite nessa órbita. ii) Se o satélite perde, subitamente, metade da sua velocidade, com que velocidade atingirá a superfície do planeta?
Considere o produto
.
Considere o produto
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
- Dados:
(massa do satélite),
(distância do satélite ao centro do planeta, ou seja, raio da órbita circular),
(raio do planeta — distância da superfície ao centro; eu converti o produto dado),
(produto constante gravitacional do planeta). - Perguntas:
i) Determine a velocidade do satélite enquanto descreve a órbita circular a.
ii) Se o satélite perde subitamente metade da sua velocidade orbital, qual será a velocidade com que atingirá a superfície do planeta (isto é, a velocidade ao chegar em)?
Passo 2
Entendendo a velocidade na órbita circular: quando um corpo descreve uma órbita circular, a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta necessária. Escrevemos a igualdade entre módulo da força gravitacional e força centrípeta:
Aqui:
-
é a constante gravitacional (multiplicada por e já dada como ); -
é a massa do planeta; -
é a massa do satélite (aparece dos dois lados e vai cancelar); -
é o raio da órbita; -
é a velocidade orbital que queremos achar.
Simplificando (cancelando
e um fator
) obtemos a fórmula padrão da velocidade orbital circular:
Passo 3
Agora substituímos os valores numéricos (tudo em km e s, compatível com
dado):
Portanto a velocidade na órbita circular é
.
Passo 4
Quando o satélite perde subitamente metade da velocidade, sua nova velocidade naquele ponto (ainda em
) é
Esse impulso muda a energia do satélite; ele passa a ter uma energia mecânica específica (energia por unidade de massa) igual a soma da energia cinética por unidade de massa e da energia potencial gravitacional por unidade de massa. A energia específica é
Aqui
tem unidades de
. Vamos calcular a energia específica imediatamente após a redução de velocidade, no ponto
:
Calcule passo a passo:
logo
Passo 5
Agora usamos conservação de energia mecânica (assumindo que após a perda de velocidade não há mais forças dissipativas): a energia específica no ponto inicial (após o corte),
, será igual à energia específica quando o satélite atingir a superfície em
. Então,
Isolando
:
Substituímos
e
:
Portanto
Uma forma alternativa e mais direta de ver essa conta é usar a identidade que surge da conservação de energia ao comparar dois raios
e
:
o que leva ao mesmo número:
Passo 6
Interpretação final e incentivo: depois de perder metade da velocidade orbital, o satélite não tem energia suficiente para permanecer em órbita e cai, atingindo a superfície com velocidade maior que a inicial orbitai (isso acontece porque a queda converte energia potencial em cinética). Resultado simples e bonito: as contas deram números inteiros e fáceis de checar. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no processo!
Resposta
i)
ii)
ii)