1. Uma onda transversal propaga-se numa corda. O deslocamento transversal y é dado por y=2 \sin (3 x-4 t), onde x e y são dados em centímetros e t em segundos. Determine a expressão da velocidade transversal v_{y} de uma partícula da corda em função de x e t.
\left(v_{y}(x, t)=-8 \cos (3 x-4 t) / \mathrm{cm} / \mathrm{s}\right)

Passo 1

O enunciado fornece o deslocamento transversal da corda
y(x,t)=2\sin(3x-4t),
onde x e y estão em centímetros e t em segundos. O que se pede é a velocidade transversal de uma partícula da corda em função de x e t, ou seja, v_{y}(x,t).

Passo 2

O que é a velocidade transversal aqui? É a taxa de variação do deslocamento y em relação ao tempo para um ponto fixo da corda (fixo em x). Matematicamente isso é a derivada parcial de y em relação a t:
v_{y}(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}.
Para calcular essa derivada vamos usar a regra da cadeia: se y(x,t)=2\sin(u(x,t)) com u(x,t)=3x-4t, então
\frac{\partial}{\partial t}\sin(u)=\cos(u)\,\frac{\partial u}{\partial t}.
Aqui \frac{\partial u}{\partial t} significa derivar u em relação a t mantendo x constante.

Passo 3

Aplique a regra da cadeia passo a passo. Primeiro identifique u(x,t)=3x-4t. Então
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(3x-4t) = -4,
porque 3x é constante quando se deriva em relação a t. Agora derive y:
\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(2\sin(u)\bigr)=2\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial t}.
Substituindo u e \frac{\partial u}{\partial t} obtém-se
\frac{\partial y}{\partial t}=2\cos(3x-4t)\cdot(-4)=-8\cos(3x-4t).

Passo 4

Incluindo a unidade (lembre que y estava em centímetros e t em segundos), a velocidade transversal é medida em \mathrm{cm/s}. Podemos também interpretar rapidamente: a amplitude máxima da velocidade é 8\\ \mathrm{cm/s} (valor absoluto), e o sinal negativo indica que, quando \cos(3x-4t) é positivo, a partícula se move no sentido negativo de y. Outra forma útil de ver a fórmula é reconhecer 2 como a amplitude A e 4 como a pulsação \omega, de modo que a forma geral
v_y(x,t)=-A\omega\cos(kx-\omega t)
aparece com A=2, k=3 e \omega=4.

Resposta

v_{y}(x,t)=-8\cos(3x-4t)\\ \mathrm{cm/s}

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