1. Uma pessoa está à entrada de um porto de pesca e vê ondas sinusiodais a aproximarem-se do porto. Conta 50 cristas de onda a passarem pelo local em que se encontra durante 1 min . e estima a distância entre cristas sucessivas como sendo aproximadamente 3 m (observando um barco ancorado próximo). Calcule o comprimento de onda e o número de onda, a frequência e frequência angular, o periodo, e a velocidade de propagação.
\left(\lambda=3 \mathrm{~m} ; \mathrm{k}=2.1 \mathrm{rad} / \mathrm{m} ; f=0.83 \mathrm{~s}^{-1} ; \omega=5.2 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; \mathrm{T}=1.2 \mathrm{~s} ; v=2.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas informações observadas na entrada do porto:
  • Contagem de cristas: 50 cristas passaram pelo ponto onde a pessoa está durante 1 minuto.
  • Distância entre cristas sucessivas (aproximação visual): \lambda \approx 3\\ \mathrm{m}.
O que o problema pede para calcular:
  • o comprimento de onda \lambda (já estimado),
  • o número de onda k,
  • a frequência f e a frequência angular \omega,
  • o período T,
  • a velocidade de propagação v.
Vou usar exatamente os dados acima (peguei a contagem 50 e o tempo 1 minuto do enunciado, e a distância entre cristas \lambda=3\\ \mathrm{m} também fornecida).

Passo 2

Definição e valor do comprimento de onda \lambda.
  • O comprimento de onda \lambda é a distância entre duas cristas sucessivas; é dado no enunciado como \lambda=3\\ \mathrm{m}.
  • Então, diretamente:
\lambda = 3\\ \mathrm{m}.
Explicação curta: pensar em \lambda como “tamanho” de um ciclo espacial da onda — se a pessoa mede a distância entre duas cristas é isso que ela encontrou.

Passo 3

Cálculo da frequência f a partir da contagem de cristas.
  • A frequência f é o número de ciclos (cristas) que passam por um ponto por unidade de tempo; unidade típica é \mathrm{s}^{-1} (Hz).
  • Observou-se 50 cristas em 1 minuto. Converter 1 minuto para segundos: 1\\ \text{min} = 60\\ \mathrm{s}.
  • Portanto:
f=\frac{50}{60}\\ \mathrm{s}^{-1}=\frac{5}{6}\\ \mathrm{s}^{-1}\approx 0,83\\ \mathrm{s}^{-1}.
Didática: em prova, conte as cristas que passam e divida pelo tempo em segundos. Se der uma fração como \tfrac{5}{6}, pode deixar exata ou aproximar para 0,83\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Cálculo do período T.
  • O período T é o tempo para um ciclo completo passar por um ponto e é o inverso da frequência:
T=\frac{1}{f}.
  • Usando f=\dfrac{5}{6}\\ \mathrm{s}^{-1}:
T=\frac{1}{5/6}=\frac{6}{5}\\ \mathrm{s}=1,2\\ \mathrm{s}.
Explicação: se passam 0,83 ciclos por segundo, cada ciclo leva cerca de 1,2 segundos.

Passo 5

Cálculo do número de onda k.
  • O número de onda k mede quantas radianas de fase ocorrem por metro; a relação com o comprimento de onda é
k=\frac{2\pi}{\lambda},
onde \lambda está em metros e k em \mathrm{rad}/\mathrm{m}.
  • Substituindo \lambda=3\\ \mathrm{m}:
k=\frac{2\pi}{3}\\ \mathrm{rad}/\mathrm{m}\approx 2,0944\\ \mathrm{rad}/\mathrm{m}\approx 2,1\\ \mathrm{rad}/\mathrm{m}.
Didática: lembrar que 2\pi rad corresponde a um ciclo espacial; dividindo por \lambda acha-se “radianos por metro”.

Passo 6

Cálculo da frequência angular \omega.
  • A frequência angular \omega relaciona-se com a frequência linear por
\omega=2\pi f,
onde \omega tem unidade \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
  • Com f=\dfrac{5}{6}\\ \mathrm{s}^{-1}:
\omega=2\pi\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\pi}{3}\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 5,23599\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 5,2\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
Explicação: \omega é útil quando a onda é escrita como \sin(kx-\omega t); é a “velocidade angular” temporal da fase.

Passo 7

Cálculo da velocidade de propagação v e verificação de consistência.
  • A velocidade de fase (propagação) da onda relaciona-se com \lambda e f por
v=\lambda f.
  • Usando \lambda=3\\ \mathrm{m} e f=\dfrac{5}{6}\\ \mathrm{s}^{-1}:
v=3\cdot\frac{5}{6}= \frac{15}{6}=2,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Alternativamente pode-se usar a relação \displaystyle v=\frac{\omega}{k}. Verificando:
\frac{\omega}{k}=\frac{5\pi/3}{2\pi/3}=\frac{5\pi}{3}\cdot\frac{3}{2\pi}=\frac{5}{2}=2,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},
mesmo resultado — bom para checar cálculos na prova.
Breve comentário prático: na hora da prova, calcular v=\lambda f é o jeito mais rápido se tiver \lambda e f.

Resposta

\lambda=3\\ \mathrm{m}
k=2,1\\ \mathrm{rad}/\mathrm{m}
f=0,83\\ \mathrm{s}^{-1}
\omega=5,2\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}
T=1,2\\ \mathrm{s}
v=2,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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