1. Ondas transversais são geradas em uma corda sob tensão constante. Por qual fator a potência necessária deve ser aumentada ou diminuída, se (a) o comprimento da corda é dobrado e a frequência angular permanece constante, (b) a amplitude é duplicada e a frequência angular é reduzida pela metade, (c) tanto o comprimento de onda quanto a amplitude são dobrados, e (d) tanto o comprimento da corda quanto o de onda são reduzidos para metade?

Passo 1

O enunciado pede para determinar por qual fator a potência necessária para manter ondas transversais numa corda sob tensão constante se altera quando fazemos mudanças nas grandezas da corda/onda em quatro situações: (a) comprimento da corda dobrado com a frequência angular constante; (b) amplitude duplicada e frequência angular reduzida pela metade; (c) comprimento de onda e amplitude ambos dobrados; (d) comprimento da corda e comprimento de onda ambos reduzidos à metade.\n
Informações dadas (explícitas ou necessárias para resolver):\n
  • A corda está sob tensão constante, que denotamos por T.\n
  • O que muda em cada item está descrito no enunciado (comprimento da corda L, amplitude A, comprimento de onda \lambda, frequência angular \omega).\n
  • Para relacionar massa linear e comprimento vou assumir a hipótese física natural: a massa total da corda M é constante quando alongamos/encurtamos a corda; portanto a densidade linear \mu muda como \mu=M/L. (Essa hipótese é necessária: sem ela não há relação entre L e \mu.)\n
    Pergunta final que vou responder em cada item: o fator multiplicativo f=\dfrac{P_{\text{novo}}}{P_{\text{inicial}}} da potência média necessária.

Passo 2

Derivação da expressão útil para a potência média transmitida por uma onda transversal numa corda (aulas rápidas e claras).\n
Considere uma onda progressiva simples na corda descrita por
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde A é a amplitude, k o número de onda e \omega a frequência angular. Explico cada símbolo: y é a deflexão transversal, x posição ao longo da corda, t tempo, k=2\pi/\lambda e \omega está relacionado com k pela velocidade de propagação v via \omega = v k.\n
A potência instantânea que passa por uma seção da corda (potência transmitida pela onda) é dada por
P(x,t) = -T\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t},
onde T é a tensão (força ao longo da corda). Vou calcular as derivadas: \frac{\partial y}{\partial x} = A k \cos(kx-\omega t),
\frac{\partial y}{\partial t} = -A \omega \cos(kx-\omega t).
Multiplicando e colocando o sinal:
P(x,t) = -T\big(A k \cos(kx-\omega t)\big)\big(-A \omega \cos(kx-\omega t)\big) = T A^2 k \omega \cos^2(kx-\omega t).
A potência média em longo tempo é a média temporal de P(x,t). Como a média de \cos^2 é 1/2, obtemos
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,T A^2 k \omega.
Usando k=\omega/v (porque \omega = v k) dá-se também
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,T A^2 \frac{\omega^2}{v}.
Outra forma útil é escrever em termos da densidade linear \mu e da velocidade v=\sqrt{T/\mu}. Substituindo v obtemos
\langle P\rangle = \frac{1}{2}A^2\omega^2\sqrt{T\mu}.
Ou, usando v explicitamente,
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\mu \omega^2 A^2 v.
Resumo prático (já que T é constante pelo enunciado): mantendo T fixo, a potência média escala como
\langle P\rangle \propto A^2 \,\omega^2 \,\sqrt{\mu}.
E, usando \mu=M/L (massa total fixa), \sqrt{\mu}=\sqrt{M}/\sqrt{L}, temos também
\langle P\rangle \propto \frac{A^2 \,\omega^2}{\sqrt{L}}.

Passo 3

Aplicação ao item (a): comprimento da corda dobrado e frequência angular constante.\n
Variáveis iniciais indicadas por subscript 0: L_0,\mu_0,M,A_0,\omega_0,P_0. Após mudança: L_1=2L_0, \omega_1=\omega_0, A_1=A_0. Como a massa total M é fixa,
\mu_1=\frac{M}{L_1}=\frac{M}{2L_0}=\frac{\mu_0}{2}.
Usando \langle P\rangle \propto A^2\omega^2\sqrt{\mu} com A,\omega iguais,
\frac{P_1}{P_0}=\frac{\sqrt{\mu_1}}{\sqrt{\mu_0}}=\sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_0}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Conclusão: a potência necessária diminui por fator 1/\sqrt{2} (ou seja, divide-se por \sqrt{2}).

Passo 4

Aplicação ao item (b): amplitude duplicada e frequência angular reduzida pela metade.\n
Mudanças: A_1=2A_0, \omega_1=\omega_0/2, comprimento L (e logo \mu) não mudam. Usando \langle P\rangle \propto A^2\omega^2,
\frac{P_1}{P_0}=\frac{(2A_0)^2(\omega_0/2)^2}{A_0^2\omega_0^2}=\frac{4A_0^2\cdot \omega_0^2/4}{A_0^2\omega_0^2}=1.
Conclusão: a potência necessária permanece a mesma (fator 1).

Passo 5

Aplicação ao item (c): tanto o comprimento de onda quanto a amplitude são dobrados.\n
Mudanças: A_1=2A_0, \lambda_1=2\lambda_0. A corda (portanto L e \mu) não foram alteradas aqui, e a tensão T é constante, então a velocidade v da onda permanece a mesma. Como \omega = v k = 2\pi v/\lambda, ao dobrar \lambda com v fixo obtemos \omega_1=\omega_0/2.\n
Usando \langle P\rangle \propto A^2\omega^2,
\frac{P_1}{P_0}=\frac{(2A_0)^2(\omega_0/2)^2}{A_0^2\omega_0^2}=\frac{4A_0^2\cdot \omega_0^2/4}{A_0^2\omega_0^2}=1.
Conclusão: a potência necessária também permanece a mesma (fator 1).

Passo 6

Aplicação ao item (d): tanto o comprimento da corda quanto o comprimento de onda são reduzidos para metade.\n
Mudanças: L_1=L_0/2 (logo \mu_1=M/L_1=2\mu_0), \lambda_1=\lambda_0/2. Amplitude A não muda.\n
Primeiro calcule como muda a velocidade v. Com v=\sqrt{T/\mu} e tensão T fixa,
v_1=\sqrt{\frac{T}{\mu_1}}=\sqrt{\frac{T}{2\mu_0}}=\frac{v_0}{\sqrt{2}}.
Agora calcule a nova frequência angular usando \omega=2\pi v/\lambda:
\omega_1 = \frac{2\pi v_1}{\lambda_1} = \frac{2\pi (v_0/\sqrt{2})}{\lambda_0/2} = \frac{2\pi v_0}{\lambda_0}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}} = \omega_0 \sqrt{2}.
Então \omega aumenta por fator \sqrt{2}. Também \sqrt{\mu_1}=\sqrt{2\mu_0}=\sqrt{2}\,\sqrt{\mu_0}.\n
Usando \langle P\rangle \propto A^2\omega^2\sqrt{\mu} com A inalterado,
\frac{P_1}{P_0} = \frac{\omega_1^2}{\omega_0^2}\cdot\frac{\sqrt{\mu_1}}{\sqrt{\mu_0}} = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = 2\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
Conclusão: a potência necessária aumenta por um fator 2\sqrt{2}.

Resposta

(a) \dfrac{1}{\sqrt{2}}\n
(b) 1\n
(c) 1\n
(d) 2\sqrt{2}

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