- Ondas transversais são geradas em uma corda sob tensão constante. Por qual fator a potência necessária deve ser aumentada ou diminuída, se (a) o comprimento da corda é dobrado e a frequência angular permanece constante, (b) a amplitude é duplicada e a frequência angular é reduzida pela metade, (c) tanto o comprimento de onda quanto a amplitude são dobrados, e (d) tanto o comprimento da corda quanto o de onda são reduzidos para metade?
Passo 1
O enunciado pede para determinar por qual fator a potência necessária para manter ondas transversais numa corda sob tensão constante se altera quando fazemos mudanças nas grandezas da corda/onda em quatro situações: (a) comprimento da corda dobrado com a frequência angular constante; (b) amplitude duplicada e frequência angular reduzida pela metade; (c) comprimento de onda e amplitude ambos dobrados; (d) comprimento da corda e comprimento de onda ambos reduzidos à metade.\n
Informações dadas (explícitas ou necessárias para resolver):\n
Informações dadas (explícitas ou necessárias para resolver):\n
- A corda está sob tensão constante, que denotamos por
.\n - O que muda em cada item está descrito no enunciado (comprimento da corda
, amplitude , comprimento de onda , frequência angular ).\n - Para relacionar massa linear e comprimento vou assumir a hipótese física natural: a massa total da corda
é constante quando alongamos/encurtamos a corda; portanto a densidade linear muda como . (Essa hipótese é necessária: sem ela não há relação entre e .)\n
Pergunta final que vou responder em cada item: o fator multiplicativoda potência média necessária.
Passo 2
Derivação da expressão útil para a potência média transmitida por uma onda transversal numa corda (aulas rápidas e claras).\n
Considere uma onda progressiva simples na corda descrita por
Considere uma onda progressiva simples na corda descrita por
onde
é a amplitude,
o número de onda e
a frequência angular. Explico cada símbolo:
é a deflexão transversal,
posição ao longo da corda,
tempo,
e
está relacionado com
pela velocidade de propagação
via
.\n
A potência instantânea que passa por uma seção da corda (potência transmitida pela onda) é dada por
A potência instantânea que passa por uma seção da corda (potência transmitida pela onda) é dada por
onde
é a tensão (força ao longo da corda). Vou calcular as derivadas:
Multiplicando e colocando o sinal:
A potência média em longo tempo é a média temporal de
. Como a média de
é
, obtemos
Usando
(porque
) dá-se também
Outra forma útil é escrever em termos da densidade linear
e da velocidade
. Substituindo
obtemos
Ou, usando
explicitamente,
Resumo prático (já que
é constante pelo enunciado): mantendo
fixo, a potência média escala como
E, usando
(massa total fixa),
, temos também
Passo 3
Aplicação ao item (a): comprimento da corda dobrado e frequência angular constante.\n
Variáveis iniciais indicadas por subscript :
. Após mudança:
,
,
. Como a massa total
é fixa,
Variáveis iniciais indicadas por subscript
Usando
com
iguais,
Conclusão: a potência necessária diminui por fator
(ou seja, divide-se por
).
Passo 4
Aplicação ao item (b): amplitude duplicada e frequência angular reduzida pela metade.\n
Mudanças: ,
, comprimento
(e logo
) não mudam. Usando
,
Mudanças:
Conclusão: a potência necessária permanece a mesma (fator
).
Passo 5
Aplicação ao item (c): tanto o comprimento de onda quanto a amplitude são dobrados.\n
Mudanças: ,
. A corda (portanto
e
) não foram alteradas aqui, e a tensão
é constante, então a velocidade
da onda permanece a mesma. Como
, ao dobrar
com
fixo obtemos
.\n
Usando ,
Mudanças:
Usando
Conclusão: a potência necessária também permanece a mesma (fator
).
Passo 6
Aplicação ao item (d): tanto o comprimento da corda quanto o comprimento de onda são reduzidos para metade.\n
Mudanças: (logo
),
. Amplitude
não muda.\n
Primeiro calcule como muda a velocidade . Com
e tensão
fixa,
Mudanças:
Primeiro calcule como muda a velocidade
Agora calcule a nova frequência angular usando
:
Então
aumenta por fator
. Também
.\n
Usando com
inalterado,
Usando
Conclusão: a potência necessária aumenta por um fator
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d)
(b)
(c)
(d)