- Q|C Em uma região longe do epicentro de um terremoto, uma onda sísmica pode ser modelada como transporte de energia em uma única direção, sem absorção, assim como uma onda em uma corda faz. Suponha que os movimentos de ondas sísmicas se movam do granito para a lama com densidade semelhante, mas com módulo volumétrico muito menor. Suponha que a velocidade da onda caia gradualmente por um fator de 25,0 , com um reflexo insignificante da onda. (Esse fenômeno levou ao colapso parte da rodovia Nimitz, em Oakland, Califórnia, durante o terremoto de Loma Prieta em 1989.)
Explique se a amplitude do chão tremendo vai aumentar ou diminuir.
Explique se a amplitude do chão tremendo vai aumentar ou diminuir.
Passo 1
O enunciado pergunta se a amplitude do tremor do chão vai aumentar ou diminuir quando uma onda sísmica passa de granito para lama, dadas as seguintes informações: a lama tem densidade praticamente igual à do granito (vou usar isso explicitamente), mas tem módulo volumétrico muito menor; a velocidade da onda cai gradualmente por um fator de
; e a reflexão da onda é insignificante. A pergunta final é: a amplitude do movimento do solo aumenta ou diminui ao entrar na lama?
Passo 2
Ideia física que vamos usar (sem jargão pesado): como a onda transporta energia e não há absorção nem reflexão significativa, a taxa de energia que atravessa uma seção (fluxo de energia, também chamado intensidade) tem de permanecer a mesma. Se a velocidade da onda muda, algo na amplitude precisa mudar para manter o mesmo fluxo de energia. Nosso objetivo é relacionar a intensidade com a amplitude para ver como a amplitude varia quando a velocidade muda.
Passo 3
Vamos modelar a onda como uma onda harmônica longitudinal simples de deslocamento. Escrevo o deslocamento das partículas do meio por
onde
é o deslocamento,
é a amplitude de deslocamento (o que queremos saber),
é o número de onda e
é a frequência angular. Observações importantes:
- Em mudança de meio lenta (sem reflexão), a frequência temporal
permanece a mesma ao atravessar a interface. - O número de onda satisfaz
, onde é a velocidade da onda no meio.
Passo 4
Calculemos a energia média por volume (densidade de energia) de uma onda harmônica. Existem duas parcelas: energia potencial elástica e energia cinética. Primeiro a deformação (strain):
Se o módulo elástico efetivo for
(aqui relacionado ao módulo volumétrico para ondas compressionais), a tensão é
. A energia potencial instantânea por volume é
. Para um ciclo harmônico, a energia potencial média por volume é
porque a média de
é
e há o fator
já presente na expressão da energia.
A energia cinética instantânea por volume é
. Como
, a energia cinética média por volume é
Somemos as duas parcelas. Usando
e a relação entre módulo e velocidade para ondas longitudinais
, temos
Portanto a densidade média de energia depende de
,
e
, e ficou
Passo 5
Agora a intensidade média (fluxo de energia por área) é a densidade média de energia vezes a velocidade:
Como não há absorção nem reflexão significativa, a intensidade
é constante ao longo da propagação. A frequência
e a densidade
(o enunciado diz que são semelhantes nos dois meios) são praticamente constantes ao atravessar; assim a única forma de
permanecer igual quando
muda é ajustando
. Isolando
da relação dá
Com densidade praticamente igual (
), obtemos
Passo 6
O enunciado diz que a velocidade cai por um fator de
, isto é
Substituindo na expressão da razão de amplitudes:
Portanto a amplitude de deslocamento aumenta por um fator
ao entrar na lama.
Passo 7
Interpretação física final e incentivo: isso quer dizer que, mesmo sem reflexão e sem perda de energia, a onda fica mais lenta na lama e, para continuar transportando a mesma energia por segundo, a amplitude do movimento do solo tem de crescer. Não é magia — é conservação do fluxo de energia. Pode parecer assustador, mas agora você já tem o raciocínio certo para aplicar em prova: escreva a intensidade
, imponha conservação de
, e resolva para
.
Resposta
A amplitude do chão aumenta por um fator