(a) , onde
(b) W^perp, onde W=[lx y z] / x+y=0,2 x-2 y-z=0
(c) (Col(A))^perp e Nul(A)^perp, para A=[ccc1 & -1 & 3 5 & 2 & 1 0 & 1 & -2 -1 & -1 & 1]
(d) (Col(A))^perp e Nul(A)^perp, para A=[cc1 & 0 -1 & 1 3 & -2 -2 & 1]
Passo 1
O enunciado pede para determinar complementos ortogonais de certos subespaços em R^3 ou R^4. Vamos usar que
Se WsubseteqR^n é dado por equações lineares aicdot x=0, então W^perp=Spana1,dots,ak.
Para uma matriz A, Col(A)^perp=Nul(A^T) e Nul(A)^perp= espaço gerado pelas linhas de A.
Passo 2
(a)
O subespaço
W=l[x,y,z]^Tmid 2x - y + 3z=0r
é o núcleo da forma linear com vetor normal (2,-1,3). Logo
W^perp=Span(2,,-1,,3)
Passo 3
(b)
Aqui
W=l[x,y,z]^Tmid x+y=0,;2x-2y-z=0r,
ou seja, W é a interseção de dois planos com vetores normais (1,1,0) e (2,-2,-1). Então
W^perp=Span(1,,1,,0),,(2,,-2,,-1)
Passo 4
(c)
Para
A= 1 & -1 & 3 5 & 2 & 1 0 & 1 & -2 -1 & -1 & 1
temos Col(A)subseteqR^4 e Nul(A)subseteqR^3.
Col(A)^perp=Nul(A^T). Resolvendo
A^T y = 0,
acha-se como base (-5,1,-7,0),,(1,0,2,1).
2. Nul(A)^perp= espaço gerado pelas linhas de A. Fazendo eliminação, duas linhas independentes são (1,-1,3) e (0,1,-2).
Passo 5
(d)
Para
A= 1 & 0 -1 & 1 3 & -2 -2 & 1
Col(A)^perp=Nul(A^T). Resolvendo
A^T y=0
em yinR^4 dá base (-1,2,1,0),,(1,-1,0,1).
2. Nul(A)subseteqR^2 tem dimensão zero (as duas colunas são independentes), logo Nul(A)=0 e Nul(A)^perp=R^2.