Se u=f(x, y), onde x=r cos theta c y=r sin theta,
3.a) Mostre que
|nabla f(x, y)|^2=(partial fpartial x)^2+(partial fpartial y)^2=(partial upartial r)^2+1r^2(partial upartial theta)^2
3.b) Utilize o item 3.a) para calcular |nabla f(1,1)|^2 se
f(x, y)=[arccos (xraizx^2+y^2)]^3

Passo 1

O enunciado define u=f(x,y) com
x = rcostheta, y = rsintheta
e pede em (a) mostrar que
|nabla f(x,y)|^2 =fx^2+fy^2 =ur^2+1r^2,utheta^2,
usando a regra da cadeia em coordenadas polares, e em (b) calcular esse valor em (x,y)=(1,1) para
f(x,y)=gl[arccos!l(tfracxraizx^2+y^2r)gr]^3

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de u(r,theta)=f(x(r,theta),y(r,theta)):
ur = fx,xr + fy,yr = fxcostheta + fysintheta,
utheta = fx,xtheta + fy,ytheta = fx(-rsintheta) + fy(rcostheta)

Passo 3

Agora computamos
ur^2 = (fxcostheta + fysintheta)^2 = fx^2cos^2theta + fy^2sin^2theta + 2fxfysinthetacostheta,
1r^2,utheta^2 = l(fxsintheta - fycosthetar)^2 = fx^2sin^2theta + fy^2cos^2theta -2fxfysinthetacostheta
Somando as duas expressões cancela o termo misto e dá
ur^2 + 1r^2,utheta^2 = fx^2(cos^2theta+sin^2theta) + fy^2(sin^2theta+cos^2theta) = fx^2 + fy^2,
ou seja
|nabla f|^2 = fx^2 + fy^2 = ur^2 + 1r^2,utheta^2

Passo 4

Para
f(x,y)=l[arccosl(tfracxraizx^2+y^2r)r]^3
note que em coordenadas polares tfracxraizx^2+y^2=costheta, logo
u(r,theta)=f(x,y)=theta^3
Daí
ur = 0, utheta = 3,theta^2
Em (x,y)=(1,1) temos
r = raiz1^2+1^2=raiz2, theta = arctan!l(tfrac11r)=tfracpi4
Logo
|nabla f(1,1)|^2 = ur^2 + 1r^2,utheta^2 = 0 + 1(raiz2)^2l(3,( tfracpi4 )^2r)^2 = 12;9,pi^416^2 = 9,pi^4512

Resposta

|nabla f(1,1)|^2 = 9,pi^4512

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