F(r)=A[e^-2 b(r-R0)-e^-b(r-R0)],
onde a e b são constantes positivas, r é a distância entre os centros dos dós átomos e R0 é a separação de equilíbrio. Para a molécula de hidrogênio (H2), A=2,97 times 10^-8 N, b=1,95 times 10^10 m e R0=7,4 times 10^-11 m.
(a) Calcule a constante da força para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio.
(b) Determine a frequência natural de oscilação da molécula de H2.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a força entre os dois átomos de H₂ é
F(r)=Al[e^-2b(r-R0)-e^-b(r-R0)r],
com A, b e R0 dados.
(a) A gente precisa achar a “constante da força” k para pequenas oscilações em torno de r=R0. Isso equivale a dizer que, perto do ponto de equilíbrio, a força age como uma mola:
F(r)approx -k,(r-R0)
Então vamos usar derivada (expansão de Taylor) pra achar k=-ltfracdFdrr|r=R0.
(b) Depois, com esse k, a molécula oscila como um oscilador harmônico de massa reduzida mu, e a frequência natural é
omega=raizkmu,nu=omega2pi
Precisamos também lembrar que, para H₂, cada átomo tem massa mrm Happrox1,67times10^-27,rm kg e a massa reduzida é mu=mrm H/2.

Passo 2

Vamos diferenciar F(r):
$$\frac{dF}{dr}
=A\Bigl[-2b,e{-2b(r-R_0)}+b,e{-b(r-R_0)}\Bigr]. dFdr =Al[-2b,e^-2b(r-R0)+b,e^-b(r-R0)r]íã\left.\frac{dF}{dr}\right|_{r=R_0}
=A\bigl[-2b + b\bigr]
=-A b. r=R0k=-\left.\frac{dF}{dr}\right|_{r=R_0}
=-(-A b)
=A,b.$$

Passo 3

Substituindo valores:
A=2,97times10^-8,rm N, b=1,95times10^10,rm m^-1,
temos
$$k=A,b
=2{,}97\times10{-8}\times1{,}95\times10{10}
\approx5{,}79\times10^2;\rm N/m.$$

Passo 4

Agora a massa reduzida da H₂ é
mu=mrm H2 =1,67times10^-27,rm kg2 =0,835times10^-27,rm kg =8,35times10^-28,rm kg

Passo 5

A frequência angular é
omega=raizkmu =raiz5,79times10^28,35times10^-28 approx8,3times10^14,rm rad/s
E a frequência (em Hz) é
nu=omega2pi approx8,3times10^142pi approx1,3times10^14,rm Hz

Resposta

(a) kapprox5,79times10^2,rm N/m
(b) omegaapprox8,3times10^14,rm rad/sRightarrownuapprox1,3times10^14,rm Hz

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