- Um ônibus tem 9 lugares para frente e 8 para trás. De quantas maneiras 7 passageiros podem viajar sentados se 2 se recusam a viajar nos lugares da frente e 3 se recusam a viajar nos lugares de trás?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
- O ônibus tem
lugares para frente. - O ônibus tem
lugares para trás. - Existem
passageiros que vão sentar. -
passageiros se recusam a viajar nos lugares da frente (ou seja, esses só aceitam lugares de trás). -
passageiros se recusam a viajar nos lugares de trás (ou seja, esses só aceitam lugares de frente). - Os demais passageiros (os que não estão nas duas categorias acima) não têm restrição.
- O ônibus tem
-
O enunciado pede:
- Determinar de quantas maneiras diferentes esses
passageiros podem ocupar os lugares disponíveis ( frontais + traseiros), respeitando as recusas indicadas.
- Determinar de quantas maneiras diferentes esses
Passo 2
Entendimento das categorias de passageiros (para organizar a contagem):
- Chamar de grupo
os passageiros que só aceitam lugar de trás. - Chamar de grupo
os passageiros que só aceitam lugar de frente. - O restante é o grupo
, com passageiros sem restrição.
Resumo em símbolos:
,
,
. As vagas disponíveis são
frontais e
traseiras.
Passo 3
Princípio de contagem que vamos usar (explicando didaticamente):
- Regra do produto: se uma escolha pode ser feita de
maneiras e, para cada escolha, outra pode ser feita de maneiras, então as duas em sequência podem ser feitas de maneiras. - Permutações sem repetição (ou arranjos de
elementos distintos escolhidos entre posições distintas): o número de maneiras de escolher e colocar pessoas distintas em lugares distintos dentre disponíveis é Isto é equivalente a primeiro escolher lugares (combinação) e depois permutar os pessoas nesses lugares ( ), mas usar é mais direto.
Vamos aplicar isso grupo a grupo, usando a regra do produto porque as escolhas são independentes em sequência (escolhas de lugares para um grupo reduzem o número de lugares disponíveis para os seguintes).
Passo 4
Assentar os passageiros do grupo
(os que só aceitam frente):
- Há
lugares frontais e pessoas que devem ocupar lugares frontais. - O número de maneiras de escolher e colocar essas
pessoas em lugares frontais é - Calculo explícito:
Passo 5
Assentar os passageiros do grupo
(os que só aceitam trás):
- Há
lugares traseiros e pessoas que devem ocupar lugares traseiros. - O número de maneiras de escolher e colocar essas
pessoas em lugares traseiros é - Calculo explícito:
Passo 6
Determinar as vagas restantes antes de colocar o grupo
:
- Total de lugares iniciais:
. - Lugares ocupados por
e : . - Portanto, vagas restantes =
. - Dessas vagas restantes, há
frontais livres e traseiras livres; mas como o grupo não tem restrição, basta saber que há lugares livres no total.
Passo 7
Assentar os passageiros do grupo
(os
sem restrição):
- Temos
lugares livres e pessoas a colocar. - O número de maneiras de escolher e colocar essas
pessoas é - Calculo explícito:
Passo 8
Aplicar a regra do produto para combinar todas as escolhas independentes:
- Número total de arranjos válidos =
- Substituindo os valores encontrados:
Passo 9
Fazer a multiplicação passo a passo (sem pular etapas):
- Primeiro:
- Em seguida:
Calculos:
- Somando: