1. Um ônibus tem 9 lugares para frente e 8 para trás. De quantas maneiras 7 passageiros podem viajar sentados se 2 se recusam a viajar nos lugares da frente e 3 se recusam a viajar nos lugares de trás?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • O ônibus tem 9 lugares para frente.
    • O ônibus tem 8 lugares para trás.
    • Existem 7 passageiros que vão sentar.
    • 2 passageiros se recusam a viajar nos lugares da frente (ou seja, esses 2 só aceitam lugares de trás).
    • 3 passageiros se recusam a viajar nos lugares de trás (ou seja, esses 3 só aceitam lugares de frente).
    • Os demais passageiros (os que não estão nas duas categorias acima) não têm restrição.
  • O enunciado pede:
    • Determinar de quantas maneiras diferentes esses 7 passageiros podem ocupar os 17 lugares disponíveis ( 9 frontais + 8 traseiros), respeitando as recusas indicadas.

Passo 2

Entendimento das categorias de passageiros (para organizar a contagem):
  • Chamar de grupo A os 2 passageiros que só aceitam lugar de trás.
  • Chamar de grupo B os 3 passageiros que só aceitam lugar de frente.
  • O restante é o grupo C, com 7-(2+3)=2 passageiros sem restrição.
Resumo em símbolos: |A|=2, |B|=3, |C|=2. As vagas disponíveis são 9 frontais e 8 traseiras.

Passo 3

Princípio de contagem que vamos usar (explicando didaticamente):
  • Regra do produto: se uma escolha pode ser feita de m maneiras e, para cada escolha, outra pode ser feita de n maneiras, então as duas em sequência podem ser feitas de m\cdot n maneiras.
  • Permutações sem repetição (ou arranjos de k elementos distintos escolhidos entre n posições distintas): o número de maneiras de escolher e colocar k pessoas distintas em k lugares distintos dentre n disponíveis é P(n,k)=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}.Isto é equivalente a primeiro escolher k lugares (combinação) e depois permutar os k pessoas nesses lugares ( C(n,k)\cdot k!), mas usar P(n,k) é mais direto.
Vamos aplicar isso grupo a grupo, usando a regra do produto porque as escolhas são independentes em sequência (escolhas de lugares para um grupo reduzem o número de lugares disponíveis para os seguintes).

Passo 4

Assentar os passageiros do grupo B (os que só aceitam frente):
  • 9 lugares frontais e |B|=3 pessoas que devem ocupar lugares frontais.
  • O número de maneiras de escolher e colocar essas 3 pessoas em lugares frontais é P(9,3)=9\cdot8\cdot7.
  • Calculo explícito: P(9,3)=9\cdot8\cdot7=504.

Passo 5

Assentar os passageiros do grupo A (os que só aceitam trás):
  • 8 lugares traseiros e |A|=2 pessoas que devem ocupar lugares traseiros.
  • O número de maneiras de escolher e colocar essas 2 pessoas em lugares traseiros é P(8,2)=8\cdot7.
  • Calculo explícito: P(8,2)=8\cdot7=56.

Passo 6

Determinar as vagas restantes antes de colocar o grupo C:
  • Total de lugares iniciais: 9+8=17.
  • Lugares ocupados por B e A: 3+2=5.
  • Portanto, vagas restantes = 17-5=12.
  • Dessas vagas restantes, há 9-3=6 frontais livres e 8-2=6 traseiras livres; mas como o grupo C não tem restrição, basta saber que há 12 lugares livres no total.

Passo 7

Assentar os passageiros do grupo C (os 2 sem restrição):
  • Temos 12 lugares livres e |C|=2 pessoas a colocar.
  • O número de maneiras de escolher e colocar essas 2 pessoas é P(12,2)=12\cdot11.
  • Calculo explícito: P(12,2)=12\cdot11=132.

Passo 8

Aplicar a regra do produto para combinar todas as escolhas independentes:
  • Número total de arranjos válidos = P(9,3)\cdot P(8,2)\cdot P(12,2).
  • Substituindo os valores encontrados: 504\cdot56\cdot132.

Passo 9

Fazer a multiplicação passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro: 504\cdot56 = (500+4)\cdot56 = 500\cdot56 + 4\cdot56 = 28000 + 224 = 28224.
  • Em seguida: 28224\cdot132 = 28224\cdot(100+30+2) = 28224\cdot100 + 28224\cdot30 + 28224\cdot2.Calculos: 28224\cdot100 = 2\,822\,400,
28224\cdot30 = 846\,720,
28224\cdot2 = 56\,448.
  • Somando: 2\,822\,400 + 846\,720 + 56\,448 = 3\,725\,568.

Resposta

\;3\,725\,568

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