O dispositivo de um cinto de segurança está sujeito a uma força de 800 N . Determine:
a) A espessura \boldsymbol{t} do cinto se o material do mesmo permite uma tensão admissível a tração de 10 MPa .
b) O comprimento d l se a tensão de cisalhamento admissível da cola é 0,75 \mathrm{MPa}.
c) O diâmetro d r se a tensão de cisalhamento permissível é de 30 MPa .

Passo 1

O enunciado dá uma força aplicada no cinto de segurança e pede três coisas. Vou listar cuidadosamente o que foi informado e o que é pedido.
  • Força aplicada: \,F=800\\ \text{N}.
  • Tensão admissível à tração do material do cinto: \,\sigma_{\text{adm}}=10\\ \text{MPa}=10\times10^{6}\\ \text{Pa}.
  • Tensão admissível de cisalhamento da cola (adesivo): \,\tau_{\text{cola,adm}}=0{,}75\\ \text{MPa}=0{,}75\times10^{6}\\ \text{Pa}.
  • Tensão admissível de cisalhamento (para o pino / peça metálica): \,\tau_{\text{pino,adm}}=30\\ \text{MPa}=30\times10^{6}\\ \text{Pa}.
O enunciado pergunta:
(a) determinar a espessura \,t do cinto para que o material não ultrapasse \,\sigma_{\text{adm}};
(b) determinar o comprimento \,d l (comprimento de cola/overlap) para que a cola não ultrapasse \,\tau_{\text{cola,adm}};
(c) determinar o diâmetro \,d r do pino (ou elemento em cisalhamento) para que a tensão de cisalhamento não ultrapasse \,\tau_{\text{pino,adm}}.
Observação importante: o enunciado não informou explicitamente a largura do cinto. Essa largura é necessária para calcular áreas (tensão = força/área). Então vou:
  • primeiro derivar as fórmulas gerais em função da largura do cinto, que chamarei de \,b (em metros);
  • e depois apresentar valores numéricos usando uma largura típica de cintos automotivos: \,b=45\\ \text{mm}=0{,}045\\ \text{m}.
    Essa escolha é uma hipótese razoável (não é um dado do enunciado); se tiver outra largura, basta substituir b nas fórmulas que eu apresento.

Passo 2

Conceito e fórmula para tensão à tração (aula rápida): tensão normal (tração) é a força axial dividida pela área da seção que resiste. A definição é
\sigma=\frac{F}{A},
onde \sigma é a tensão (em Pa), F é a força (em N) e A é a área perpendicular à força (em m ^2). Para um cinto com largura b e espessura t a área da seção é
A_{\text{tração}}=b\cdot t.çã
Queremos que a tensão resultante não ultrapasse \sigma_{\text{adm}}, então impondo \sigma=\sigma_{\text{adm}} e isolando t obtemos a fórmula prática:
t=\frac{F}{\sigma_{\text{adm}}\; b}.
Aqui:
  • t é a espessura procurada (m);
  • F é a força (N);
  • \sigma_{\text{adm}} é a tensão admissível à tração (Pa);
  • b é a largura do cinto (m).

Passo 3

Cálculo numérico da espessura \,t assumindo b=0{,}045\\ \text{m}.
Usando a fórmula do passo anterior:
t=\frac{800}{10\times10^{6}\cdot 0{,}045}.
Calcule passo a passo:
10\times10^{6}\cdot 0{,}045=10{,}0\times10^{6}\cdot0{,}045=450000,
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t=\frac{800}{450000}=0{,}001777777\ldots\\ \text{m}=1{,}7777\ldots\\ \text{mm}.
Arredondando de forma prática para a fabricação, t\approx1{,}78\\ \text{mm}.

Passo 4

Conceito e fórmula para a cola (cisalhamento): quando a força é transmitida por uma camada de cola com área de adesão igual a A_{\text{cola}}=b\cdot d l (largura b vezes comprimento de sobreposição d l), a tensão de cisalhamento média é
\tau=\frac{F}{A_{\text{cola}}}=\frac{F}{b\cdot d l}.
Queremos \tau=\tau_{\text{cola,adm}}. Isolando d l vem:
d l=\frac{F}{\tau_{\text{cola,adm}}\; b}.
Aqui:
  • d l é o comprimento de cola necessário (m);
  • \tau_{\text{cola,adm}} é a tensão admissível de cisalhamento da cola (Pa).

Passo 5

Cálculo numérico de d l assumindo b=0{,}045\\ \text{m}.
Substituindo:
d l=\frac{800}{0{,}75\times10^{6}\cdot 0{,}045}.
Calcule passo a passo:
0{,}75\times10^{6}\cdot 0{,}045 = 33750,
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d l=\frac{800}{33750}=0{,}0237037037\ldots\\ \text{m}=23{,}7037\ldots\\ \text{mm}.
Arredondando, d l\approx23{,}70\\ \text{mm}.

Passo 6

Conceito e fórmula para cisalhamento do pino (aula rápida): se o pino é cortado em uma única seção (cisalhamento simples), a área resistente é a área da secção transversal circular
A_{\text{pino}}=\frac{\pi d r^{2}}{4},
onde d r é o diâmetro do pino. A tensão de cisalhamento média é
\tau=\frac{F}{A_{\text{pino}}}=\frac{4F}{\pi d r^{2}}.
Queremos \tau=\tau_{\text{pino,adm}}. Isolando d r:
d r=\sqrt{\frac{4F}{\pi\; \tau_{\text{pino,adm}}}}.
Aqui:
  • d r é o diâmetro necessário (m);
  • \tau_{\text{pino,adm}} é a tensão admissível ao cisalhamento do material do pino (Pa).

Passo 7

Cálculo numérico de d r (observe que este valor não depende da largura b, porque é área do pino).
Substituindo os números:
d r=\sqrt{\frac{4\cdot 800}{\pi\cdot 30\times10^{6}}} =\sqrt{\frac{3200}{\pi\cdot 30\times10^{6}}}.
Calcule:
\pi\cdot 30\times10^{6}\approx94\,247\,779{,}61,
\frac{3200}{94\,247\,779{,}61}\approx 3{,}3967\times10^{-5},
d r\approx\sqrt{3{,}3967\times10^{-5}}\approx 0{,}0058277\\ \text{m}=5{,}8277\\ \text{mm}.
Arredondando, d r\approx5{,}83\\ \text{mm}.

Passo 8

Resumo das fórmulas gerais (úteis se quiser mudar a largura b):
t=\frac{F}{\sigma_{\text{adm}}\; b},\qquad d l=\frac{F}{\tau_{\text{cola,adm}}\; b},\qquad d r=\sqrt{\frac{4F}{\pi\; \tau_{\text{pino,adm}}}}.
Essas fórmulas são as mesmas que usei nos cálculos numéricos acima; basta substituir b se a largura real do cinto for diferente da hipótese b=0{,}045\\ \text{m}.

Resposta

t\approx0{,}00178\\ \text{m}=1{,}78\\ \text{mm} (para b=0{,}045\\ \text{m})
d l\approx0{,}02370\\ \text{m}=23{,}70\\ \text{mm} (para b=0{,}045\\ \text{m})
d r\approx0{,}00583\\ \text{m}=5{,}83\\ \text{mm}

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