Questão 3) Uma esfera oca de raio interno
e raio externo
está carregada com densidade volumétrica de carga uniforme dada
. Determine o campo elétrico em
, sabendo que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação: há uma esfera oca (casca esférica) com raio interno
e raio externo . - Informação: a casca está carregada com densidade volumétrica uniforme
(constante). - Informação: o ponto onde queremos o campo elétrico está à distância
do centro, com (ou seja, dentro do material da casca, entre as superfícies interna e externa). - Pedido: determinar o campo elétrico
em função de para .
Passo 2
Ideia chave (sem resolver ainda): por simetria esférica o campo elétrico em uma distância
do centro é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos de uma esfera de raio
. Para quantificar o valor usa-se a Lei de Gauss no seu formato integral.
A Lei de Gauss em forma integral é:
onde:
-
é uma superfície fechada (vai escolher uma superfície com simetria conveniente); -
é o campo elétrico na superfície; -
é o vetor área elementar apontando para fora; -
é a carga total contida dentro da superfície ; -
é a permissividade do vácuo.
Explicando as variáveis:
é carga por unidade de volume (
).
será obtida multiplicando
pelo volume da região carregada que estiver dentro da superfície escolhida.
Passo 3
Escolha da superfície de Gauss e simetria. Como o problema tem simetria esférica, escolhemos como superfície de Gauss a esfera de raio
centrada no mesmo centro da casca. Para
essa esfera intercepta o material carregado da casca: toda carga contida entre o raio
e o raio
está dentro de
.
Pela simetria:
-
é radial: . - Em toda a superfície de Gauss de raio
, é uniforme e .
Portanto o lado esquerdo da Lei de Gauss fica:
Passo 4
Calcular a carga encerrada
. A carga está distribuída no volume entre
e
, mas a superfície de Gauss de raio
(com
) só encerra a parte entre
e
. O volume dessa região é a diferença entre volumes de esferas:
Como a densidade volumétrica é
(constante), a carga encerrada é
Passo 5
Aplicar a Lei de Gauss e isolar
. Substituindo os resultados nos dois lados da Lei de Gauss:
Agora simplificar cancelando o fator
:
Isolando
:
Podemos reescrever de forma mais explícita:
Passo 6
Direção e interpretação física rápida (útil para prova):
- O campo é radial e pontando para fora se
, então em vetor:
- Verificações simples:
- No limite
obtém-se , compatível com o campo nulo dentro da cavidade ( ). - Em
a expressão dá o valor correspondente à carga total encerrada até ; para recupera-se o campo de uma carga total pontual situado no centro: para (consistência com Gauss).
- No limite
Força final de encorajamento: você já viu como a simetria simplifica muito o problema — em prova, reconhecer a escolha da superfície de Gauss é metade da batalha!