Questão 3) Uma esfera oca de raio interno a e raio externo R está carregada com densidade volumétrica de carga uniforme dada \rho. Determine o campo elétrico em r, sabendo que a<r<R.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: há uma esfera oca (casca esférica) com raio interno a e raio externo R.
  • Informação: a casca está carregada com densidade volumétrica uniforme \rho (constante).
  • Informação: o ponto onde queremos o campo elétrico está à distância r do centro, com a<r<R (ou seja, dentro do material da casca, entre as superfícies interna e externa).
  • Pedido: determinar o campo elétrico \mathbf{E} em função de r para a<r<R.

Passo 2

Ideia chave (sem resolver ainda): por simetria esférica o campo elétrico em uma distância r do centro é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos de uma esfera de raio r. Para quantificar o valor usa-se a Lei de Gauss no seu formato integral.
A Lei de Gauss em forma integral é:
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • S é uma superfície fechada (vai escolher uma superfície com simetria conveniente);
  • \mathbf{E} é o campo elétrico na superfície;
  • d\mathbf{A} é o vetor área elementar apontando para fora;
  • Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro da superfície S;
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Explicando as variáveis: \rho é carga por unidade de volume ( \text{C}/\text{m}^3). Q_{\text{enc}} será obtida multiplicando \rho pelo volume da região carregada que estiver dentro da superfície escolhida.

Passo 3

Escolha da superfície de Gauss e simetria. Como o problema tem simetria esférica, escolhemos como superfície de Gauss a esfera de raio r centrada no mesmo centro da casca. Para a<r<R essa esfera intercepta o material carregado da casca: toda carga contida entre o raio a e o raio r está dentro de S.
Pela simetria:
  • \mathbf{E} é radial: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{\mathbf r}.
  • Em toda a superfície de Gauss de raio r, E(r) é uniforme e \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,dA.
Portanto o lado esquerdo da Lei de Gauss fica:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\oint_{S} dA = E(r)\cdot 4\pi r^2.

Passo 4

Calcular a carga encerrada Q_{\text{enc}}. A carga está distribuída no volume entre a e R, mas a superfície de Gauss de raio r (com a<r<R) só encerra a parte entre a e r. O volume dessa região é a diferença entre volumes de esferas:
V_{\text{enc}}=\frac{4}{3}\pi r^3-\frac{4}{3}\pi a^3=\frac{4}{3}\pi\bigl(r^3-a^3\bigr).
Como a densidade volumétrica é \rho (constante), a carga encerrada é
Q_{\text{enc}}=\rho\,V_{\text{enc}}=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(r^3-a^3\bigr).

Passo 5

Aplicar a Lei de Gauss e isolar E(r). Substituindo os resultados nos dois lados da Lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{1}{\varepsilon_0}\,\rho\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(r^3-a^3\bigr).
Agora simplificar cancelando o fator 4\pi:
E(r)\,r^2=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\bigl(r^3-a^3\bigr).
Isolando E(r):
E(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,\frac{r^3-a^3}{r^2}.
Podemos reescrever de forma mais explícita:
E(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(r-\frac{a^3}{r^2}\right).

Passo 6

Direção e interpretação física rápida (útil para prova):
  • O campo é radial e pontando para fora se \rho>0, então em vetor:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(r-\frac{a^3}{r^2}\right)\hat{\mathbf r}.
  • Verificações simples:
    • No limite r\to a^+ obtém-se E\to 0, compatível com o campo nulo dentro da cavidade ( r<a).
    • Em r=R a expressão dá o valor correspondente à carga total encerrada até R; para r\ge R recupera-se o campo de uma carga total pontual Q_{\text{tot}}=\rho\frac{4}{3}\pi(R^3-a^3) situado no centro: para r\ge R E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q_{\text{tot}}}{r^2} (consistência com Gauss).
Força final de encorajamento: você já viu como a simetria simplifica muito o problema — em prova, reconhecer a escolha da superfície de Gauss é metade da batalha!

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\!\left(r-\frac{a^{3}}{r^{2}}\right)\hat{\mathbf r} , para a<r<R

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