Das opções abaixo qual contém as equações paramétricas da reta tangente à curva
no ponto
para
?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede as equações paramétricas da reta tangente à curva
no ponto quando . - Informações fornecidas: a função vetor
e o valor de , ou seja . - O ponto onde queremos a tangente é
(avaliar a curva em ). - Precisamos a direção da reta tangente: é dada por
avaliada em .
Relaxa que eu vou te guiar passo a passo.
Passo 2
Vamos calcular a derivada componente a componente — aqui aprendes as regras usadas. Regras importantes (explicadas de forma simples):
- Derivada de
em relação a é , onde é constante (regra da cadeia). Isso significa que, se tiveres , a derivada é . - Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Derivada do produto
usa a regra do produto: . Aqui (com ) e (com ).
Agora aplicamos isso em cada componente de: - Primeira componente:
. - Segunda componente:
(a constante na exponencial é ). - Terceira componente: usando produto,
.
Portanto a derivada vetor é
Passo 3
A reta tangente em
usa
como ponto e
como direção. Primeiro calculemos o ponto
:
-
.
Agora avaliamosem : - Primeira componente:
. - Segunda:
. - Terceira:
.
Logo
Passo 4
Fórmula da reta com ponto e direção (a que deves memorizar para a prova): se um ponto da reta é
e o vetor diretor é
, então as equações paramétricas da reta (usando parâmetro
) são
Aqui
e
. Substituindo,
Passo 5
Agora colocamos o valor numérico
(decimal com vírgula como no enunciado). Substituindo
e trocando o parâmetro
por
(para comparar com as opções dadas), obtemos
Essa é a forma paramétrica da reta tangente no ponto
para
. Observando as alternativas dadas, essa corresponde exatamente à última opção.