Das opções abaixo qual contém as equações paramétricas da reta tangente à curva r(t)=\left(e^{a t}, e^{-a t}, t e^{a t}\right) no ponto r(0) para a=-2,7 ?
\bigcirc x=1+(-2,7) t ; y=1-(-2,7) t ; z=1
\bigcirc x=t+(-2,7) ; y=t-(-2,7) ; z=t
\bigcirc x=t+(-2,7) ; y=t-(-2,7) ; z=1+t
\bigcirc x=t+(-2,7) ; y=t-(-2,7) ; z=1
\bigcirc x=1+(-2,7) t ; y=1-(-2,7) t ; z=1+t
\bigcirc x=1+(-2,7) t ; y=1-(-2,7) t ; z=t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede as equações paramétricas da reta tangente à curva r(t)=\left(e^{a t},\, e^{-a t},\, t e^{a t}\right) no ponto r(0) quando a=-2,7.
  • Informações fornecidas: a função vetor r(t) e o valor de a, ou seja a=-2,7.
  • O ponto onde queremos a tangente é r(0) (avaliar a curva em t=0).
  • Precisamos a direção da reta tangente: é dada por r'(t) avaliada em t=0.
    Relaxa que eu vou te guiar passo a passo.

Passo 2

Vamos calcular a derivada componente a componente — aqui aprendes as regras usadas. Regras importantes (explicadas de forma simples):
  • Derivada de e^{k t} em relação a t é k e^{k t}, onde k é constante (regra da cadeia). Isso significa que, se tiveres e^{a t}, a derivada é a e^{a t}.
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Derivada do produto t\cdot e^{a t} usa a regra do produto: (u v)' = u'v + u v'. Aqui u=t (com u'=1) e v=e^{a t} (com v'=a e^{a t}).
    Agora aplicamos isso em cada componente de r(t):
  • Primeira componente: \displaystyle \frac{d}{dt}\big(e^{a t}\big)=a e^{a t}.
  • Segunda componente: \displaystyle \frac{d}{dt}\big(e^{-a t}\big)=(-a) e^{-a t} (a constante na exponencial é -a).
  • Terceira componente: usando produto, \displaystyle \frac{d}{dt}\big(t e^{a t}\big)=1\cdot e^{a t}+t\cdot a e^{a t}=e^{a t}+a t e^{a t}.
Portanto a derivada vetor é
r'(t)=\big(a e^{a t},\; -a e^{-a t},\; e^{a t}+a t e^{a t}\big).

Passo 3

A reta tangente em r(0) usa r(0) como ponto e r'(0) como direção. Primeiro calculemos o ponto r(0):
  • \displaystyle r(0)=\big(e^{a\cdot 0},\; e^{-a\cdot 0},\; 0\cdot e^{a\cdot 0}\big)=\big(1,\;1,\;0\big).
    Agora avaliamos r'(t) em t=0:
  • Primeira componente: \displaystyle a e^{a\cdot 0}=a\cdot 1=a.
  • Segunda: \displaystyle -a e^{-a\cdot 0}=-a\cdot 1=-a.
  • Terceira: \displaystyle e^{a\cdot 0}+a\cdot 0\cdot e^{a\cdot 0}=1+0=1.
Logo
r'(0)=\big(a,\; -a,\; 1\big).

Passo 4

Fórmula da reta com ponto e direção (a que deves memorizar para a prova): se um ponto da reta é P=(x_0,y_0,z_0) e o vetor diretor é v=(v_1,v_2,v_3), então as equações paramétricas da reta (usando parâmetro \lambda) são
x=x_0+v_1\lambda,\qquad y=y_0+v_2\lambda,\qquad z=z_0+v_3\lambda.
Aqui P=r(0)=(1,1,0) e v=r'(0)=(a,-a,1). Substituindo,
x=1+a\lambda,\qquad y=1-a\lambda,\qquad z=0+1\lambda=\lambda.

Passo 5

Agora colocamos o valor numérico a=-2,7 (decimal com vírgula como no enunciado). Substituindo a e trocando o parâmetro \lambda por t (para comparar com as opções dadas), obtemos
x=1+(-2,7)\,t,\qquad y=1-(-2,7)\,t,\qquad z=t.
Essa é a forma paramétrica da reta tangente no ponto r(0) para a=-2,7. Observando as alternativas dadas, essa corresponde exatamente à última opção.

Resposta

x=1+(-2,7)t,\; y=1-(-2,7)t,\; z=t

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