Suponha que a temperatura ambiente é igual a
e que a temperatura
de um corpo depende apenas do tempo
. A lei do resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à sua diferença com a temperatura ambiente. Com base nisto, resolva os itens que se seguem.
(a) Verifique que a temperatura
satisfaz a equação
onde
é uma constante. Qual é o significado do sinal de menos do lado direito da igualdade?
(b) Supondo que
, encontre a expressão de
.
(c) Calcule o limite
e interprete este resultado fisicamente.
(a) Verifique que a temperatura
(b) Supondo que
(c) Calcule o limite
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
- Informação: a temperatura ambiente é
. - Informação: a temperatura do corpo é uma função do tempo, denotada por
. - Informação/hipótese física: a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente.
- Constante:
é uma constante de proporcionalidade (velocidade do resfriamento). - Condição inicial (item b):
com .
Perguntas:
(a) Mostrar que satisfaz
(a) Mostrar que
e explicar o significado do sinal de menos no lado direito.
(b) Supondo , encontrar uma expressão explícita para
.
(c) Calcular e interpretar fisicamente esse resultado.
(b) Supondo
(c) Calcular
Passo 2
Explicação do porquê da equação diferencial proposta (derivação direta da lei de Newton do resfriamento).
A lei diz: “a rapidez com que a temperatura do corpo muda é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente.” Em frases matemáticas, isso significa que existe uma constante
tal que
Agora pense no sinal: se o corpo está mais quente que o ambiente (
), esperamos que a temperatura do corpo diminua com o tempo, ou seja
. Para que
seja negativo quando
, o coeficiente
precisa ser negativo. Por isso escrevemos
com
. Substituindo obtemos a forma
que é exatamente a equação pedida.
Significado do sinal de menos: ele garante a direção correta da variação. Concretamente:
- Se
, então e : a temperatura do corpo diminui (resfria). - Se
, então e : a temperatura do corpo aumenta (esquenta) até se aproximar de .
Passo 3
Escolha de método para resolver a equação diferencial e justificativa.
A equação
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem simples. Uma maneira direta e muito prática é fazer a substituição
porque isso elimina a constante
e transforma a equação em uma forma homogênea. Vou seguir esse método pois é o mais direto e adequado para provas sem calculadora.
Passo 4
Transformação e obtenção da equação separável.
Calcule
. Como
e
é constante, temos
Substituindo a equação original,
Esta é uma equação diferencial separável e linear simples. Vou resolver por separação de variáveis.
Passo 5
Resolução por separação de variáveis (passo a passo e explicando cada movimento).
Partimos de
Separando as variáveis (colocar termos em
de um lado e em
do outro):
Agora integramos ambos os lados. Lembrando que
:
onde
é a constante de integração. Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados:
Podemos incorporar o sinal em uma constante real
(podendo ser positiva ou negativa), escrevendo
onde
é uma constante que vamos determinar pela condição inicial.
Passo 6
Aplicação da condição inicial para determinar a constante e escrever a solução final.
Voltando à definição
e usando a condição inicial
, temos
Também pela solução
. Portanto
Substituindo em
e voltando para
:
e então
Observações didáticas sobre a solução:
- A constante
controla a rapidez: quanto maior , mais rápido a diferença decai. - A diferença
decai exponencialmente: após um tempo (a chamada constante de tempo), a diferença reduz para (cerca de ) do valor inicial. - Para achar o tempo em que a diferença torna-se metade, resolva
, o que dá . Isto é útil para intuição física.
Passo 7
Cálculo do limite quando
e interpretação física.
Usamos a solução encontrada:
Sabemos que
quando
. Portanto
Interpretação física: conforme o tempo cresce muito, a temperatura do corpo aproxima-se da temperatura ambiente
. Ou seja, o corpo eventualmente “esfria” até ficar na mesma temperatura do ambiente (no sentido limite); na prática ele se aproxima arbitrariamente de
mas, matematicamente, só a alcançaria exatamente no tempo infinito. A velocidade dessa aproximação é controlada por
.
Resposta
(a)
. O sinal de menos indica que quando
a derivada é negativa (o corpo esfria), e quando
a derivada é positiva (o corpo aquece), fazendo a temperatura tender à ambiental.\n
(b) \n
(c) Interpretação: a temperatura do corpo aproxima-se assintoticamente da temperatura ambiente; a constante
regula a rapidez dessa aproximação.
(b)
(c)