Suponha que a temperatura ambiente é igual a T_{a} e que a temperatura T(t) de um corpo depende apenas do tempo t. A lei do resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à sua diferença com a temperatura ambiente. Com base nisto, resolva os itens que se seguem.
(a) Verifique que a temperatura T(t) satisfaz a equação
T^{\prime}(t)=-k\left(T(t)-T_{a}\right), \quad t>0
onde k>0 é uma constante. Qual é o significado do sinal de menos do lado direito da igualdade?
(b) Supondo que T(0)=T_{0}>T_{a}, encontre a expressão de T(t).
(c) Calcule o limite \lim _{t \rightarrow \infty} T(t) e interprete este resultado fisicamente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
  • Informação: a temperatura ambiente é \,T_{a}\,.
  • Informação: a temperatura do corpo é uma função do tempo, denotada por \,T(t)\,.
  • Informação/hipótese física: a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente.
  • Constante: \,k>0\, é uma constante de proporcionalidade (velocidade do resfriamento).
  • Condição inicial (item b): \,T(0)=T_{0}\, com \,T_{0}>T_{a}\,.
Perguntas:
(a) Mostrar que \,T(t)\, satisfaz
T^{\prime}(t)=-k\bigl(T(t)-T_{a}\bigr),\quad t>0,
e explicar o significado do sinal de menos no lado direito.
(b) Supondo \,T(0)=T_{0}>T_{a}\,, encontrar uma expressão explícita para \,T(t)\,.
(c) Calcular \displaystyle\lim_{t\to\infty}T(t) e interpretar fisicamente esse resultado.

Passo 2

Explicação do porquê da equação diferencial proposta (derivação direta da lei de Newton do resfriamento).
A lei diz: “a rapidez com que a temperatura do corpo muda é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente.” Em frases matemáticas, isso significa que existe uma constante \,C\, tal que
T'(t)=C\bigl(T(t)-T_a\bigr).
Agora pense no sinal: se o corpo está mais quente que o ambiente ( T(t)>T_a), esperamos que a temperatura do corpo diminua com o tempo, ou seja T'(t)<0. Para que T'(t) seja negativo quando T(t)-T_a>0, o coeficiente C precisa ser negativo. Por isso escrevemos C=-k com \,k>0\,. Substituindo obtemos a forma
T'(t)=-k\bigl(T(t)-T_a\bigr),
que é exatamente a equação pedida.
Significado do sinal de menos: ele garante a direção correta da variação. Concretamente:
  • Se \,T(t)>T_a, então \,T(t)-T_a>0 e \,T'(t)=-k(\cdot)<0: a temperatura do corpo diminui (resfria).
  • Se \,T(t)<T_a, então \,T(t)-T_a<0 e \,T'(t)>0: a temperatura do corpo aumenta (esquenta) até se aproximar de \,T_a.

Passo 3

Escolha de método para resolver a equação diferencial e justificativa.
A equação
T'(t)=-k\bigl(T(t)-T_a\bigr)
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem simples. Uma maneira direta e muito prática é fazer a substituição
u(t)=T(t)-T_a,
porque isso elimina a constante \,T_a e transforma a equação em uma forma homogênea. Vou seguir esse método pois é o mais direto e adequado para provas sem calculadora.

Passo 4

Transformação e obtenção da equação separável.
Calcule u'(t). Como u(t)=T(t)-T_a e \,T_a é constante, temos
u'(t)=T'(t).
Substituindo a equação original,
u'(t)=-k\,u(t).
Esta é uma equação diferencial separável e linear simples. Vou resolver por separação de variáveis.

Passo 5

Resolução por separação de variáveis (passo a passo e explicando cada movimento).
Partimos de
\frac{du}{dt}=-k\,u.
Separando as variáveis (colocar termos em u de um lado e em t do outro):
\frac{1}{u}\,du = -k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. Lembrando que \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C:
\int \frac{1}{u}\,du = \int -k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|u| = -k t + C,
onde C é a constante de integração. Para eliminar o logaritmo, exponenciamos ambos os lados:
|u| = e^{C}e^{-k t}.
Podemos incorporar o sinal em uma constante real C_1 (podendo ser positiva ou negativa), escrevendo
u(t)=C_{1}e^{-k t},
onde C_{1}\in\mathbb{R} é uma constante que vamos determinar pela condição inicial.

Passo 6

Aplicação da condição inicial para determinar a constante e escrever a solução final.
Voltando à definição u(t)=T(t)-T_a e usando a condição inicial \,T(0)=T_0, temos
u(0)=T(0)-T_a = T_0-T_a.
Também pela solução u(0)=C_{1}e^{0}=C_{1}. Portanto
C_{1}=T_0-T_a.
Substituindo em u(t) e voltando para T(t):
u(t)=(T_0-T_a)e^{-k t}
e então
\boxed{\,T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-k t}\, .}
Observações didáticas sobre a solução:
  • A constante k>0 controla a rapidez: quanto maior k, mais rápido a diferença (T(t)-T_a) decai.
  • A diferença (T(t)-T_a) decai exponencialmente: após um tempo \tau=\dfrac{1}{k} (a chamada constante de tempo), a diferença reduz para e^{-1} (cerca de 37\%) do valor inicial.
  • Para achar o tempo em que a diferença torna-se metade, resolva e^{-k t}=1/2, o que dá t=(\ln 2)/k. Isto é útil para intuição física.

Passo 7

Cálculo do limite quando t\to\infty e interpretação física.
Usamos a solução encontrada:
T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-k t}.
Sabemos que \displaystyle\lim_{t\to\infty}e^{-k t}=0 quando k>0. Portanto
\lim_{t\to\infty}T(t)=T_a + (T_0-T_a)\cdot 0 = T_a.
Interpretação física: conforme o tempo cresce muito, a temperatura do corpo aproxima-se da temperatura ambiente \,T_a. Ou seja, o corpo eventualmente “esfria” até ficar na mesma temperatura do ambiente (no sentido limite); na prática ele se aproxima arbitrariamente de \,T_a mas, matematicamente, só a alcançaria exatamente no tempo infinito. A velocidade dessa aproximação é controlada por \,k\,.

Resposta

(a) \;T'(t)=-k\bigl(T(t)-T_a\bigr). O sinal de menos indica que quando T(t)>T_a a derivada é negativa (o corpo esfria), e quando T(t)<T_a a derivada é positiva (o corpo aquece), fazendo a temperatura tender à ambiental.\n
(b) \;T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-k t}.\n
(c) \;\displaystyle\lim_{t\to\infty}T(t)=T_a. Interpretação: a temperatura do corpo aproxima-se assintoticamente da temperatura ambiente; a constante k regula a rapidez dessa aproximação.

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