Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
(x+y)-(x-y) \frac{d y}{d x}=0
usando a mudança de variável v(x)=y(x) / x.
(a) Verifique que y^{\prime}(x)=v(x)+x v^{\prime}(x).
(b) Substitua a expressão acima na equação para verificar, se y(x) é solução da equação original, então v(x) satisfaz
v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v}{1-v}
(c) Verifique que a equação acima é separável para, em seguida, encontrar v(x).
(d) Use o item acima para verificar que a solução y(x) satisfaz
\arctan \left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2} \ln \left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)=\ln x+c_{1}
onde c_{1} é uma constante.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x+y)-(x-y)\frac{d y}{d x}=0
e pede que se faça a mudança de variável v(x)=\dfrac{y(x)}{x}. As tarefas são:
  • (a) verificar que \dfrac{d y}{d x}=v(x)+x\,v'(x);
  • (b) substituir essa expressão na equação original e obter v+x\frac{d v}{d x}=\frac{1+v}{1-v};
  • (c) mostrar que essa equação em v é separável e resolver para v(x);
  • (d) usar o resultado para deduzir que y(x) satisfaz \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln\!\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)=\ln x+c_{1},onde c_{1} é constante.
    As informações relevantes: a definição v(x)=y(x)/x e a equação diferencial dada. A resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

(a) Vamos calcular \dfrac{d y}{d x} a partir de y(x)=x\,v(x). Aqui usamos a regra do produto: se y(x)=u(x)w(x) então
\frac{d y}{d x}=u'(x)w(x)+u(x)w'(x).
No nosso caso u(x)=x e w(x)=v(x). Temos u'(x)=1 e w'(x)=v'(x). Portanto
\frac{d y}{d x}=1\cdot v(x)+x\cdot v'(x)=v(x)+x\,v'(x),
o que verifica o pedido do item (a).

Passo 3

(b) Substituímos y=xv e y'=v+xv' na equação original. Primeiro calculemos x+y e x-y:
x+y = x + x v = x(1+v),
x-y = x - x v = x(1-v).
A equação (x+y)-(x-y)y'=0 fica então
x(1+v) - x(1-v)\bigl(v + x v'\bigr)=0.
Podemos dividir por x (assumindo x\neq 0, caso x=0 precisa tratamento à parte), obtendo
(1+v) - (1-v)\bigl(v + x v'\bigr)=0.
Expandindo o produto:
(1+v) - (1-v)v - (1-v)x v' = 0.
Calculamos (1-v)v = v - v^{2}. Então
(1+v) - (v - v^{2}) - (1-v)x v' = 0,
1+v -v + v^{2} - (1-v)x v' = 0,
1+v^{2} - (1-v)x v' = 0.
Isolando x v' obtemos
x v' = \frac{1+v^{2}}{1-v}.
Agora somamos v dos dois lados para escrever v+x v':
v + x v' = v + \frac{1+v^{2}}{1-v}.
Colocando no mesmo denominador (1-v):
v + x v' = \frac{v(1-v) + 1+v^{2}}{1-v} = \frac{v - v^{2} + 1 + v^{2}}{1-v} = \frac{1+v}{1-v}.
Isso verifica o item (b):
v+x\frac{d v}{d x}=\frac{1+v}{1-v}.

Passo 4

(c) A equação obtida pode ser reescrita, usando v'=\dfrac{d v}{d x}, como
x\frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{1-v}.
Isso mostra que a equação é separável: podemos escrever os termos que contêm v de um lado e os termos que contêm x do outro. Dividindo ambos os lados por 1+v^{2} e multiplicando por 1-v e por dx, obtemos
\frac{1-v}{1+v^{2}}\,d v = \frac{d x}{x}.
Agora integramos os dois membros.

Passo 5

Integramos o lado esquerdo:
\int \frac{1-v}{1+v^{2}}\,d v = \int \frac{1}{1+v^{2}}\,d v - \int \frac{v}{1+v^{2}}\,d v.
A primeira integral é conhecida:
\int \frac{1}{1+v^{2}}\,d v = \arctan(v).
A segunda integral fazemos por substituição: seja u=1+v^{2}, então du=2v\,dv, ou v\,dv=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{v}{1+v^{2}}\,d v = \int \frac{1}{2}\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln u = \frac{1}{2}\ln(1+v^{2}).
Portanto a integral do lado esquerdo é
\arctan(v) - \frac{1}{2}\ln(1+v^{2}).
A integral do lado direito é
\int \frac{d x}{x} = \ln|x| + C.
Igualando e agrupando constantes (podemos escolher o sinal de x no domínio; o enunciado usa \ln x então assumimos x>0 ou absorvemos o sinal na constante), obtemos
\arctan(v) - \frac{1}{2}\ln(1+v^{2}) = \ln x + C,
onde C é constante de integração. Isso fornece v(x) de forma implícita.

Passo 6

(d) Finalmente substituímos v=\dfrac{y}{x} na expressão obtida. Assim
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2}\ln\!\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right) = \ln x + C.
Renomeando a constante de integração C para c_{1} (como no enunciado), obtemos exatamente a forma pedida.

Resposta

\displaystyle \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln\!\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)=\ln x+c_{1}

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