Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável
.
(a) Verifique que
.
(b) Substitua a expressão acima na equação para verificar, se
é solução da equação original, então
satisfaz
(c) Verifique que a equação acima é separável para, em seguida, encontrar
.
(d) Use o item acima para verificar que a solução
satisfaz
onde
é uma constante.
(a) Verifique que
(b) Substitua a expressão acima na equação para verificar, se
(d) Use o item acima para verificar que a solução
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se faça a mudança de variável
. As tarefas são:
- (a) verificar que
; - (b) substituir essa expressão na equação original e obter
- (c) mostrar que essa equação em
é separável e resolver para ; - (d) usar o resultado para deduzir que
satisfaz onde é constante.
As informações relevantes: a definiçãoe a equação diferencial dada. A resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
(a) Vamos calcular
a partir de
. Aqui usamos a regra do produto: se
então
No nosso caso
e
. Temos
e
. Portanto
o que verifica o pedido do item (a).
Passo 3
(b) Substituímos
e
na equação original. Primeiro calculemos
e
:
A equação
fica então
Podemos dividir por
(assumindo
, caso
precisa tratamento à parte), obtendo
Expandindo o produto:
Calculamos
. Então
Isolando
obtemos
Agora somamos
dos dois lados para escrever
:
Colocando no mesmo denominador
:
Isso verifica o item (b):
Passo 4
(c) A equação obtida pode ser reescrita, usando
, como
Isso mostra que a equação é separável: podemos escrever os termos que contêm
de um lado e os termos que contêm
do outro. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
e por
, obtemos
Agora integramos os dois membros.
Passo 5
Integramos o lado esquerdo:
A primeira integral é conhecida:
A segunda integral fazemos por substituição: seja
, então
, ou
. Assim
Portanto a integral do lado esquerdo é
A integral do lado direito é
Igualando e agrupando constantes (podemos escolher o sinal de
no domínio; o enunciado usa
então assumimos
ou absorvemos o sinal na constante), obtemos
onde
é constante de integração. Isso fornece
de forma implícita.
Passo 6
(d) Finalmente substituímos
na expressão obtida. Assim
Renomeando a constante de integração
para
(como no enunciado), obtemos exatamente a forma pedida.