8- Uma operação de recalcamento a quente á realizada em uma matriz aberta. A peça de partida tem diâmetro igual a 25 mm e altura igual a 50 mm . A peça de ser recalcada para diâmetro médio de 50 mm . O metal nesta temperatura elevada escoa a 85 \mathrm{Mpa}(\mathrm{n}=0). O coeficiente de atrito na interface matriz-metal é igual a 0,4
. Determine (a), a altura final da peça e (b) a força máxima na operação

Passo 1

O enunciado trata de forjamento a quente em matriz aberta (upsetting) de um cilindro inicialmente de diâmetro D_0=25\\ \mathrm{mm} e altura h_0=50\\ \mathrm{mm}, para atingir um diâmetro final D_f=50\\ \mathrm{mm}. O material é perfeitamente plástico com tensão de escoamento Y=85\\ \mathrm{MPa} e coeficiente de atrito na interface \mu=0,4. Vamos usar:
  1. Conservação de volume para achar a altura final h_f.
  2. Expressão de carga de forjamento em matriz aberta com atrito para obter a força máxima.

Passo 2

Como o volume se conserva,
\frac{\pi}{4}D_0^2\,h_0 \;=\;\frac{\pi}{4}D_f^2\,h_f
Logo,
h_f \;=\;\frac{D_0^2\,h_0}{D_f^2} \;=\;\frac{25^2\cdot50}{50^2} \;=\;12,5\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

A força de forjamento em matriz aberta com atrito, segundo análise de limite superior, é dada por
P \;=\;Y\,A\;\Bigl(1+\tfrac{2\,\mu\,R}{3\,h}\Bigr),
onde A=\pi R^2 é a área da seção ( R=D/2) e h é a altura instantânea. A carga é máxima no final da operação, usando R_f=D_f/2 e h_f.

Passo 4

Calculando os termos no estado final:
R_f=\tfrac{D_f}{2}=25\\ \mathrm{mm}, \quad A=\pi R_f^2=\pi\,(25)^2\approx1963{,}5\\ \mathrm{mm}^2,
1+\frac{2\,\mu\,R_f}{3\,h_f} =1+\frac{2\cdot0,4\cdot25}{3\cdot12,5} =1+\frac{20}{37,5} \approx1,5333.
Assim,
P_{\max} =Y\,A\;\Bigl(1+\tfrac{2\mu R_f}{3h_f}\Bigr) =85\\ \mathrm{MPa}\times1963{,}5\\ \mathrm{mm}^2\times1,5333 \approx2{,}56\times10^5\\ \mathrm{N} =256\\ \mathrm{kN}.

Resposta

(a) h_f=12,5\\ \mathrm{mm}
(b) P_{\max}\approx256\\ \mathrm{kN}

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