7- Uma peça cilíndrica está sujeita a uma operação de recalque a frio. A peça tem dimensões iniciais iguais a 75 mm e 50 mm de altura e diâmetro, respectivamente. Ela é reduzida nesta operação para a altura de 36 mm . O material de trabalho tem uma curva de escoamento definida por \mathrm{K}=350 MPa e \mathrm{n}=0,17. Assuma coeficiente de atrito de 0,1 .
  • Determine a força de início de processo, em alturas intermediárias de 62 \mathrm{~mm}, 55 \mathrm{~mm}, 49 \mathrm{~mm}, 42 \mathrm{~mm} e 36 mm .
  • Esboce um gráfico Força de fechamento (\mathrm{kN}) \times \mathrm{h}(\mathrm{mm}).

Passo 1

O enunciado trata de uma operação de recalque a frio (upsetting) de um cilindro metálico. Temos:
• Altura inicial H_0 = 75\\ \text{mm} e diâmetro inicial D_0 = 50\\ \text{mm} (logo raio R_0 = 25\\ \text{mm}).
• Altura final alvo h = 36\\ \text{mm}, mas queremos também as forças para alturas intermediárias h=62,\\\ 55,\\\ 49,\\\ 42 e 36\\ \text{mm}.
• Curva de escoamento do material \sigma = K\,\varepsilon^n com K=350\\ \text{MPa} e n=0{,}17.
• Coeficiente de atrito \mu=0{,}1.
Conteúdo: mecânica da deformação plástica, conservação de volume e atrito nas superfícies de contato.

Passo 2

Como o volume se conserva, vale
A(h)\,h \;=\; A_0\,H_0 \quad\Longrightarrow\quad \pi\,R^2(h)\,h = \pi\,R_0^2\,H_0
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R(h) = R_0\sqrt{\frac{H_0}{\,h\,}} \quad\text{e}\quad A(h)=\pi\,R^2(h)=\pi\,R_0^2\,\frac{H_0}{h}.

Passo 3

A deformação verdadeira acumulada até uma altura h é
\varepsilon = \ln\!\Bigl(\frac{H_0}{h}\Bigr).
Para obter a tensão de escoamento média \bar\sigma usamos a média na lei de potência, isto é
\bar\sigma =\frac{1}{\varepsilon}\int_{0}^{\varepsilon}K\,\xi^n\,\mathrm{d}\xi =\frac{K}{n+1}\,\varepsilon^n.

Passo 4

Incluindo o atrito pelo método de camadas (slab method), a força de fechamento é
F =\bar\sigma\,A(h)\,\Bigl(1+\frac{2\,\mu\,R(h)}{3\,h}\Bigr).

Passo 5

Agora fazemos para cada h:
Nota: K/(n+1)=350/1{,}17\approx299{,}15\\ \text{MPa}.
Para h=62\\ \text{mm}:
\varepsilon=\ln(75/62)=0{,}1902,
\bar\sigma=299{,}15\,(0{,}1902)^{0,17}=225{,}7\\ \text{MPa},
R=25\sqrt{75/62}=27{,}50\\ \text{mm},
A=\pi(27{,}50)^2=2377\\ \text{mm}^2,
\displaystyle 1+\frac{2\mu R}{3h}=1{,}0296,
F=225{,}7\times2377\times1{,}0296\approx552{,}4\times10^3\\ \text{N}=552{,}4\\ \text{kN}.
Para h=55\\ \text{mm}:
\varepsilon=0{,}3102,
\bar\sigma=245{,}0\\ \text{MPa},
R=29{,}19\\ \text{mm},
A=2677\\ \text{mm}^2,
Fator =1{,}0354,
F\approx245{,}0\times2677\times1{,}0354=679{,}1\\ \text{kN}.
Para h=49\\ \text{mm}:
\varepsilon=0{,}4253,
\bar\sigma=258{,}6\\ \text{MPa},
R=30{,}93\\ \text{mm},
A=3007\\ \text{mm}^2,
Fator =1{,}0421,
F\approx258{,}6\times3007\times1{,}0421=810{,}0\\ \text{kN}.
Para h=42\\ \text{mm}:
\varepsilon=0{,}5805,
\bar\sigma=272{,}8\\ \text{MPa},
R=33{,}42\\ \text{mm},
A=3508\\ \text{mm}^2,
Fator =1{,}0530,
F\approx272{,}8\times3508\times1{,}0530=1008\\ \text{kN}.
Para h=36\\ \text{mm}:
\varepsilon=0{,}7339,
\bar\sigma=283{,}8\\ \text{MPa},
R=36{,}08\\ \text{mm},
A=4093\\ \text{mm}^2,
Fator =1{,}0668,
F\approx283{,}8\times4093\times1{,}0668=1239\\ \text{kN}.

Resposta

62 mm: 552 kN
55 mm: 679 kN
49 mm: 810 kN
42 mm: 1008 kN
36 mm: 1239 kN
Esboço do gráfico F(h): ao reduzir h de 75 mm até 36 mm, a força cresce de modo não‐linear (curva convexa para cima), partindo de valor menor próximo a zero em h=H_0 e atingindo cerca de 1240 kN em h=36 mm.

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