Uma coluna de destilação, com uma só alimentação, um condensador total, um refervedor total e seis correntes de produtos efluentes (incluindo-se D e B ), vai ser projetada para processar uma mistura com seis componentes. Quantas são as variáveis independentes que devem ser fixadas para definir o sistema? Faça uma listagem apropriada de um conjunto destas variáveis.

Passo 1

Estamos projetando uma coluna de destilação com uma única alimentação, condensador total, refervedor total e seis correntes de saída (os seis produtos: destilado D, fundo B e quatro cortes laterais S_1, S_2, S_3, S_4). Há seis componentes na mistura. Para definir completamente o sistema — ou seja, para que todas as vazões e composições fiquem fechadas — precisamos contar quantas variáveis independentes (graus de liberdade) existem e, portanto, quantas devemos fixar.
Conteúdo: equilíbrio de massa global e balanços de componente, soma de frações molares em cada corrente, mais as equações de condensador total e refervedor total.

Passo 2

Liste os incógnitas do problema antes de impor equações:
  • Vazões das seis correntes produto:
    D,\;B,\;S_1,\;S_2,\;S_3,\;S_4 \to 6 variáveis
  • Composições molares de cada corrente (cada uma tem 6 frações x_{k,i}, mas \sum_{i=1}^6 x_{k,i}=1 elimina um grau em cada corrente):
    para cada corrente k\in\{D,B,S_1,S_2,S_3,S_4\} precisamos de 5 frações independentes \to 6\times5=30
    Total de incógnitas =6 (vazões) +30 (frações molares) =36

Passo 3

Liste as equações que relacionam essas incógnitas:
1. Balanço de massa total sobre toda a coluna:
F \;=\; D + B + S_1 + S_2 + S_3 + S_4
2. Seis balanços de componente (um para cada componente i):
F\,x_{F,i} \;=\; D\,x_{D,i} + B\,x_{B,i} + \sum_{j=1}^{4}S_j\,x_{S_j,i} \quad(i=1,\dots,6)
3. Equação do condensador total, que relaciona a vazão de vapor que entra ao teto V_N com o destilado líquido D e o refluxo L:
V_N \;=\; D + L
4. Equação do refervedor total, relacionando a vazão de fundo B e a vaporização V_1:
V_1 \;=\; B + S
(essas duas últimas “fecham” o condensador e o refervedor)
No total temos
1 (massa total) +6 (componentes) +1 (condensador) +1 (refervedor) = 9 equações

Passo 4

Graus de liberdade (DOF) = número de incógnitas – número de equações
\mathrm{DOF} \;=\; 36 \;-\; 9 \;=\; 27
Logo, precisamos fixar 27 variáveis independentes para definir completamente o sistema.

Passo 5

Um conjunto conveniente de 27 variáveis a serem fixadas pode ser, por exemplo:
1) Condição de alimentação ( 6 variáveis)
\bullet Vazão de alimentação F \bullet Frações molares x_{F,1},\dots,x_{F,5} (a sexta fração vem pela soma até 1)
2) Vazões de cinco correntes produto ( 5 variáveis)
\bullet D,\;S_1,\;S_2,\;S_3,\;S_4
(a sexta vazão B sai do balanço total de massa)
3) Composições de cinco correntes produto ( 5 correntes \times 5 frações =25 variáveis)
\bullet \{x_{D,1},\dots,x_{D,5}\} \bullet \{x_{S_1,1},\dots,x_{S_1,5}\} \bullet \{x_{S_2,1},\dots,x_{S_2,5}\} \bullet \{x_{S_3,1},\dots,x_{S_3,5}\} \bullet \{x_{S_4,1},\dots,x_{S_4,5}\}
Total: 6 (alimentação) +5 (vazões) +25 (frações) = 36 variáveis listadas, mas delas 9 serão conseguidas pelas equações de balanço e fechamento do condensador/refervedor, restando 27 variáveis que devem ser especificadas de modo independente.

Resposta

É preciso fixar 27 variáveis independentes. Um conjunto apropriado é especificar
– vazão e composição da alimentação ( F,\,x_{F,1\ldots5}),
– vazões de cinco correntes produto ( D,S_1,S_2,S_3,S_4),
– as cinco frações molares de cada uma dessas cinco correntes ( x_{D,1\ldots5},\,x_{S_j,1\ldots5} para j=1\ldots4).

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