1.2 Uma mesma partícula sólida é caracterizada por d_{p} (diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula) e \mathrm{d}_{\text {stk }} (diâmetro de esfera de mesmo material que a partícula e que, sob as mesmas condições, atinge a mesma velocidade terminal que ela no regime de Stokes). Considerando-se as afirmativas (a) d_{p}<d_{\text {Stk }}; (b) d_{p}=d_{\text {Stk }} e (b) c) d_{p}>d_{\text {stk }}, pergunta-se:
a) Qual dessas afirmativas é correta? Justifique (sem recorrer a relações empíricas).
Sugestão: analise a queda de uma partícula qualquer em dado fluido sob a ação do campo gravitacional terrestre e compare-a com a queda de uma esfera, do mesmo material que a partícula, sendo seu diâmetro D igual ao d_{p} da partícula considerada.

Passo 1

O enunciado define duas grandezas para a mesma partícula sólida em queda no regime de Stokes:
\mathrm{d}_{p}, diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula.
\mathrm{d}_{\text{Stk}}, diâmetro de esfera (mesmo material) que, sob as mesmas condições, atinge a mesma velocidade terminal que a partícula.
O objetivo é encontrar a relação entre \mathrm{d}_{p} e \mathrm{d}_{\text{Stk}} usando apenas a lei de Stokes e justificando por comparação de forças de arrasto.

Passo 2

Num regime de Stokes, para uma esfera de diâmetro D a força de arrasto é
F_{D,\text{esf}} = 3\pi \mu\,D\,V
e a velocidade terminal resulta de equilibrar peso aparente e arrasto:
(\rho_{p}-\rho_{f})\,g\,\frac{\pi D^{3}}{6} \;=\; 3\pi \mu\,D\,V \;\;\Longrightarrow\;\; V_{\text{esf}}(D) =\frac{(\rho_{p}-\rho_{f})\,g\,D^{2}}{18\,\mu}.

Passo 3

Para a partícula arbitrária definimos um fator de forma k_{s}>1 que corrige o arrasto da esfera de diâmetro \mathrm{d}_{p}:
F_{D,\text{part}} = 3\pi \mu\,\mathrm{d}_{p}\,V\,k_{s}, \quad k_{s}>1.
Equilibrando peso aparente e arrasto nessa partícula:
(\rho_{p}-\rho_{f})\,g\,\frac{\pi\mathrm{d}_{p}^{3}}{6} =3\pi \mu\,\mathrm{d}_{p}\,V_{\text{part}}\,k_{s} \;\;\Longrightarrow\;\; V_{\text{part}} =\frac{(\rho_{p}-\rho_{f})\,g\,\mathrm{d}_{p}^{2}}{18\,\mu\,k_{s}}.

Passo 4

Por definição, \mathrm{d}_{\text{Stk}} é o diâmetro D da esfera que atinge V_{\text{esf}}(D)=V_{\text{part}}. Logo,
\frac{(\rho_{p}-\rho_{f})\,g\,D^{2}}{18\,\mu} =\frac{(\rho_{p}-\rho_{f})\,g\,\mathrm{d}_{p}^{2}}{18\,\mu\,k_{s}} \quad\Longrightarrow\quad D = \frac{\mathrm{d}_{p}}{\sqrt{k_{s}}}.
Como k_{s}>1, segue D<\mathrm{d}_{p}. Portanto \mathrm{d}_{\text{Stk}}<\mathrm{d}_{p}.

Resposta

c) \mathrm{d}_{p}>\mathrm{d}_{\text{Stk}}.

Exercícios de Livros Relacionados