Um tanque fechado é mantido parcialmente cheio de óleo (densidade =0,9 ) e tem uma pressão de 10 psig no espaço cheio de gás acima do nível do óleo. Se o óleo está sendo descarregado através de uma mangueira, à vazão de 50 \mathrm{gal} / \mathrm{min}, estimar a pressáo no bocal que está a 10 ft abaixo do nível do óleo e tem uma abertura de 1 in de diâmetro interno. Admitir uma perda por atrito total na linha da ordem de 1,0 \mathrm{ft}-\mathrm{lb} / \mathrm{lb}.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um tanque fechado contendo óleo com peso específico \gamma=0,9\times62,4\;\mathrm{lbf/ft^3}=56,16\;\mathrm{lbf/ft^3}. O espaço de gás acima do óleo está a 10\;\mathrm{psig}. O óleo escoa por uma mangueira até um bocal de diâmetro interno de 1\;\mathrm{in}, localizado 10\;\mathrm{ft} abaixo da superfície do óleo, com vazão Q=50\;\mathrm{gal/min}. As perdas por atrito total equivalem a 1,0\;\mathrm{ft\!-\!lb\!/lb}, ou seja, h_f=1,0\;\mathrm{ft} de carga. Queremos a pressão no bocal ( p_2), em psig.
O conteúdo da matéria é aplicação da equação de Bernoulli entre a superfície livre e o bocal, incluindo perdas e a variação de elevação.

Passo 2

Calcular a velocidade no bocal a partir da vazão e da seção do orifício. Primeiro convertemos
Q = 50\;\mathrm{gal/min} = \frac{50}{7,4805}\;\mathrm{ft^3/min} = 6,6866\;\mathrm{ft^3/min} \quad\Longrightarrow\quad Q = \frac{6,6866}{60}\;\mathrm{ft^3/s} = 0,11144\;\mathrm{ft^3/s}.
O diâmetro do bocal é
D = 1\;\mathrm{in} = 0,08333\;\mathrm{ft}, \quad A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0,08333)^2}{4} = 0,005454\;\mathrm{ft^2}.
Logo,
V = \frac{Q}{A} = \frac{0,11144}{0,005454} = 20,43\;\mathrm{ft/s} \quad\Longrightarrow\quad \frac{V^2}{2g} = \frac{(20,43)^2}{2\cdot32,2} = 6,48\;\mathrm{ft}.

Passo 3

Expressar a pressão do gás no topo em termos de carga (head):
p_1 = 10\;\mathrm{psig} = 10\times144\;\mathrm{lbf/ft^2}=1440\;\mathrm{lbf/ft^2}, \quad \frac{p_1}{\gamma} = \frac{1440}{56,16} = 25,64\;\mathrm{ft}.

Passo 4

Aplicar Bernoulli entre ponto 1 (superfície livre, z_1=0, V_1\approx0) e ponto 2 (no bocal, z_2=-10\;\mathrm{ft}, p_2 é o que queremos, V_2=20,43\;\mathrm{ft/s}), incluindo perda h_f=1,0\;\mathrm{ft}. Usando forma em carga de líquido:
\frac{p_1}{\gamma} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_f.
Substituindo:
25,64 + 0 = \frac{p_2}{\gamma} + 6,48 + (-10) + 1,0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{p_2}{\gamma} = 25,64 -6,48 +10 -1,0 = 28,16\;\mathrm{ft}.

Passo 5

Converter a carga \tfrac{p_2}{\gamma}=28,16\;\mathrm{ft} de volta para pressão em psi:
p_2 = \gamma\cdot\frac{p_2}{\gamma} = 56,16\;\mathrm{lbf/ft^3}\times28,16\;\mathrm{ft} =1581\;\mathrm{lbf/ft^2} \quad\Longrightarrow\quad p_2 = \frac{1581}{144}=10,98\;\mathrm{psi}.

Resposta

A pressão no bocal, em relação à atmosfera, é aproximadamente 11{,}0\;\mathrm{psig}.

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