Com as operações usuais, (\mathbb{Z},+, \cdot) é um domínio de integralidade, mas não é um corpo. De fato, a unidade do produto é 1 e , se a pertence a Z exceto 1 , não existe b em \mathbb{Z} tal que \mathrm{a} \cdot \mathrm{b}=1.

Passo 1

O enunciado quer que a gente verifique duas afirmações sobre o anel dos inteiros com as operações usuais: (\mathbb{Z},+,\cdot).
As perguntas implícitas são:
  • Mostrar que (\mathbb{Z},+,\cdot) é um domínio de integridade.
  • Mostrar que (\mathbb{Z},+,\cdot) não é um corpo (ou seja, existe algum elemento não nulo que não tem inverso multiplicativo em \mathbb{Z}).
Informações relevantes que o enunciado dá ou sugere:
  • A unidade multiplicativa (identidade do produto) em \mathbb{Z} é 1.
  • Queremos analisar existência de inversos multiplicativos em \mathbb{Z} e a presença de divisores de zero.

Passo 2

Definições essenciais (explicadas com calma):
  • Um anel comutativo com unidade é um conjunto com duas operações + e \cdot que satisfazem leis usuais (fechamento, associatividade, comutatividade de + e de \cdot, distributividade, existência de 0 como identidade aditiva e de 1 como identidade multiplicativa, e existência de inversos aditivos para todo elemento).
  • Um divisor de zero é um elemento a\neq 0 tal que existe b\neq 0 com ab=0.
  • Um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade que não possui divisores de zero.
  • Um corpo é um anel comutativo com unidade onde todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo (ou seja, para todo a\neq 0 existe b tal que ab=1).
Vou agora mostrar que \mathbb{Z} satisfaz as propriedades do anel comutativo com unidade.

Passo 3

Verificando que \mathbb{Z} é um anel comutativo com unidade (passo a passo, de forma concreta):
  • Fechamento: se a,b\in\mathbb{Z} então a+b\in\mathbb{Z} e a\cdot b\in\mathbb{Z} — a soma e o produto de inteiros são inteiros.
  • Associatividade: para + e \cdot vale (a+b)+c=a+(b+c) e (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c) — propriedades básicas dos inteiros.
  • Comutatividade: a+b=b+a e a\cdot b=b\cdot a.
  • Distributividade: a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c.
  • Existência de identidade aditiva: 0 é tal que a+0=a para todo a\in\mathbb{Z}.
  • Existência de identidade multiplicativa: 1 é tal que a\cdot1=a para todo a\in\mathbb{Z}.
  • Existência de inversos aditivos: para cada a existe -a tal que a+(-a)=0.
    Esses pontos mostram explicitamente que \mathbb{Z} é um anel comutativo com unidade.

Passo 4

Provar que \mathbb{Z} não tem divisores de zero (ou seja, é um domínio de integridade):
Queremos provar: se a,b\in\mathbb{Z} e ab=0 então a=0 ou b=0.
Prova direta e simples usando valor absoluto (modo fácil de entender na prova):
  • Se a\neq 0 então |a|\ge 1. Se b\neq 0 então |b|\ge 1.
  • Então se a\neq 0 e b\neq 0 temos |ab|=|a||b|\ge 1\cdot 1 = 1, logo ab\neq 0.
  • Portanto não é possível ter ab=0 com ambos a e b não nulos. Assim, se ab=0 um dos dois deve ser zero.
    Isso mostra que não existem divisores de zero em \mathbb{Z}.
Como já vimos que \mathbb{Z} é um anel comutativo com unidade e agora que não possui divisores de zero, concluímos que \mathbb{Z} é um domínio de integridade.

Passo 5

Mostrar que \mathbb{Z} não é um corpo: abordar unidades e inversos multiplicativos.
  • Num corpo, todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo dentro do próprio conjunto.
  • Em \mathbb{Z}, quais a satisfazem que existe b\in\mathbb{Z} com ab=1? Esses elementos são chamados de unidades do anel.
Prova de que as únicas unidades em \mathbb{Z} são \pm1:
  • Suponha a\in\mathbb{Z} e exista b\in\mathbb{Z} com ab=1.
  • Tomando valores absolutos, |ab|=|a||b|=1. Como |a| e |b| são inteiros positivos, a única forma de o produto ser 1 é que |a|=1 e |b|=1.
  • Logo a=\pm1. Portanto apenas \pm1 têm inverso multiplicativo em \mathbb{Z}.

Passo 6

Concluir que \mathbb{Z} não é corpo com um exemplo concreto:
  • Por exemplo, 2\in\mathbb{Z} é não nulo. Se existisse b\in\mathbb{Z} com 2b=1 então b=\tfrac12, que não é inteiro. Assim 2 não tem inverso em \mathbb{Z}.
  • Como já existe pelo menos um elemento não nulo sem inverso, \mathbb{Z} não satisfaz a definição de corpo.

Resposta

\mathbb{Z} é um domínio de integridade.
\mathbb{Z} não é um corpo; as únicas unidades são \pm1 (por exemplo, 2 não tem inverso em \mathbb{Z}).

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