Com as operações usuais,
é um domínio de integralidade, mas não é um corpo. De fato, a unidade do produto é 1 e , se a pertence a Z exceto 1 , não existe b em
tal que
.
Passo 1
O enunciado quer que a gente verifique duas afirmações sobre o anel dos inteiros com as operações usuais:
.
As perguntas implícitas são:
As perguntas implícitas são:
- Mostrar que
é um domínio de integridade. - Mostrar que
não é um corpo (ou seja, existe algum elemento não nulo que não tem inverso multiplicativo em ).
Informações relevantes que o enunciado dá ou sugere:
- A unidade multiplicativa (identidade do produto) em
é . - Queremos analisar existência de inversos multiplicativos em
e a presença de divisores de zero.
Passo 2
Definições essenciais (explicadas com calma):
- Um anel comutativo com unidade é um conjunto com duas operações
e que satisfazem leis usuais (fechamento, associatividade, comutatividade de e de , distributividade, existência de como identidade aditiva e de como identidade multiplicativa, e existência de inversos aditivos para todo elemento). - Um divisor de zero é um elemento
tal que existe com . - Um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade que não possui divisores de zero.
- Um corpo é um anel comutativo com unidade onde todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo (ou seja, para todo
existe tal que ).
Vou agora mostrar que
satisfaz as propriedades do anel comutativo com unidade.
Passo 3
Verificando que
é um anel comutativo com unidade (passo a passo, de forma concreta):
- Fechamento: se
então e — a soma e o produto de inteiros são inteiros. - Associatividade: para
e vale e — propriedades básicas dos inteiros. - Comutatividade:
e . - Distributividade:
. - Existência de identidade aditiva:
é tal que para todo . - Existência de identidade multiplicativa:
é tal que para todo . - Existência de inversos aditivos: para cada
existe tal que .
Esses pontos mostram explicitamente queé um anel comutativo com unidade.
Passo 4
Provar que
não tem divisores de zero (ou seja, é um domínio de integridade):
Queremos provar: se e
então
ou
.
Queremos provar: se
Prova direta e simples usando valor absoluto (modo fácil de entender na prova):
- Se
então . Se então . - Então se
e temos , logo . - Portanto não é possível ter
com ambos e não nulos. Assim, se um dos dois deve ser zero.
Isso mostra que não existem divisores de zero em.
Como já vimos que
é um anel comutativo com unidade e agora que não possui divisores de zero, concluímos que
é um domínio de integridade.
Passo 5
Mostrar que
não é um corpo: abordar unidades e inversos multiplicativos.
- Num corpo, todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo dentro do próprio conjunto.
- Em
, quais satisfazem que existe com ? Esses elementos são chamados de unidades do anel.
Prova de que as únicas unidades em
são
:
- Suponha
e exista com . - Tomando valores absolutos,
. Como e são inteiros positivos, a única forma de o produto ser é que e . - Logo
. Portanto apenas têm inverso multiplicativo em .
Passo 6
Concluir que
não é corpo com um exemplo concreto:
- Por exemplo,
é não nulo. Se existisse com então , que não é inteiro. Assim não tem inverso em . - Como já existe pelo menos um elemento não nulo sem inverso,
não satisfaz a definição de corpo.