Verifique se \mathrm{I}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & 0\end{array}\right)\right\} , \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathbb{R}\} e \mathrm{I}_{2}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\\ 0 & c\end{array}\right)\right\} , \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathbb{Z}\} são ideais, respectivamente, de \mathrm{A}_{1}=\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) e \mathrm{A}_{2}=\mathrm{M}_{2}(\mathbb{Z})
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
Pergunta 1: verificar se I_{1}=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & 0\end{pmatrix}\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\} é um ideal do anel A_{1}=M_{2}(\mathbb{R}).
Pergunta 2: verificar se I_{2}=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & c\end{pmatrix}\mid a,b,c\in\mathbb{Z}\right\} é um ideal do anel A_{2}=M_{2}(\mathbb{Z}).
Informações relevantes dadas: as duas coleções são subconjuntos das matrizes 2\times2 (com entradas em \mathbb{R} no primeiro caso e em \mathbb{Z} no segundo). Queremos saber se cada subconjunto é um ideal do anel correspondente.
Passo 2
Definição objetiva e prática de “ideal” que usaremos.
Em um anel (possivelmente não comutativo) R, um subconjunto I\subseteq R é um ideal (ou ideal bilateral) se e somente se:
I é um subgrupo aditivo de R: isto é, 0\in I, se x,y\in I então x-y\in I.
I é fechado sob multiplicação por elementos de R tanto à esquerda quanto à direita: para todo r\in R e todo x\in I devemos ter rx\in I e xr\in I.
Observação prática: para mostrar que um subconjunto NÃO é ideal basta encontrar um contraexemplo: um x\in I e um r\in R tais que rx\notin I ou xr\notin I. Se quisermos provar que é ideal, devemos verificar as duas propriedades acima para todos os elementos (o que normalmente é mais trabalhoso).
Passo 3
Verificação rápida da propriedade aditiva para I_{1}.
Tome duas matrizes quaisquer de I_{1}:X=\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\\ c_1 & 0\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\\ c_2 & 0\end{pmatrix},com a_i,b_i,c_i\in\mathbb{R}.
A soma éX+Y=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 \\\ c_1+c_2 & 0+0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 \\\ c_1+c_2 & 0\end{pmatrix},que tem a entrada (2,2) igual a 0. Portanto X+Y\in I_{1}. O negativo de X também tem (2,2)=0. Logo I_{1} é subgrupo aditivo de M_{2}(\mathbb{R}).
Passo 4
Contraexemplo mostrando que I_{1} não é fechado sob multiplicação à esquerda (logo não é ideal).
Escrevemos uma multiplicação genérica: paraA=\begin{pmatrix}p & q \\\ r & s\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}),\qquad X=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & 0\end{pmatrix}\in I_{1},temosAX=\begin{pmatrix}p a + q c & p b + q\cdot 0 \\\ r a + s c & r b + s\cdot 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}p a + q c & p b \\\ r a + s c & r b\end{pmatrix}.A entrada (2,2) de AX é r b. Se conseguirmos escolher A e X tais que r b\neq 0, então AX\notin I_{1}.
Escolha explícita simples: tomeA=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}),\qquad X=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in I_{1}.Calculando:AX=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1\cdot 0 + 0\cdot 0 & 1\cdot 1 + 0\cdot 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.A matriz resultante tem (2,2)=1\neq0, portanto AX\notin I_{1}. Conclusão: I_{1} não é fechado por multiplicação à esquerda e, portanto, não é ideal em A_{1}.
Passo 5
Observação extra sobre I_{1} (didática): por que essa falha é esperada?
Intuitivamente: exigir que (2,2)=0 é uma condição que não se preserva quando misturamos linhas/colunas com matrizes gerais; a multiplicação pode “mover” entradas não-nulas para a posição (2,2).
Nota rápida (opcional para decorar): M_{2}(\mathbb{R}) é um anel simples (quando o anel de escalares é um corpo), então seus únicos ideais bilaterais são \{0\} e o próprio M_{2}(\mathbb{R}). Como I_{1} não é nem \{0\} nem todo M_{2}(\mathbb{R}), isso já indica que não pode ser ideal; o contraexemplo concretiza isso.
Passo 6
Verificação aditiva para I_{2}.
Tome duas matrizes de I_{2}:X=\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\\\ 0 & c_1\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\\\ 0 & c_2\end{pmatrix},com a_i,b_i,c_i\in\mathbb{Z}. A soma éX+Y=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 \\\\ 0+0 & c_1+c_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 \\\\ 0 & c_1+c_2\end{pmatrix},que ainda tem entrada (2,1)=0. O negativo de X tem entradas inteiras e (2,1)=0. Então I_{2} é subgrupo aditivo de M_{2}(\mathbb{Z}).
Passo 7
Contraexemplo mostrando que I_{2} não é fechado sob multiplicação (escolha à esquerda ou à direita).
Multiplicação genérica à esquerda: paraA=\begin{pmatrix}p & q \\\ r & s\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{Z}),\qquad X=\begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & c\end{pmatrix}\in I_{2},obtemosAX=\begin{pmatrix}p a + q\cdot 0 & p b + q c \\\ r a + s\cdot 0 & r b + s c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}p a & p b + q c \\\ r a & r b + s c\end{pmatrix}.A entrada (2,1) de AX é r a. Se r a\neq0 teremos AX\notin I_{2}.
Escolha explícita em inteiros: tomeA=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{Z}),\qquad X=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in I_{2}.EntãoAX=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix},que tem a entrada (2,1)=1\neq0. Portanto AX\notin I_{2}. Conclusão: I_{2} não é fechado por multiplicação à esquerda, logo não é ideal em A_{2}.
Passo 8
Resumo final e incentivo.
Ambos os conjuntos são subgrupos aditivos (fechamento por soma e inverso). Contudo, em cada caso encontramos um elemento do anel e um elemento do subconjunto cujo produto (à esquerda, já basta) não pertence ao subconjunto. Isso basta para concluir que nenhum dos dois é ideal. Força aí nos estudos — identificar um bom contraexemplo é a maneira mais rápida de mostrar que algo não é ideal!
Resposta
I_{1} não é ideal de A_{1}. I_{2} não é ideal de A_{2}.