Verifique se B é subanel de A.
\mathrm{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\\ 0 & 0\end{array}\right) \in \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})\right\} , \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}, \mathrm{A}=\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se B é subanel de A.
Informações dadas:
A = \mathrm{M}_2(\mathbb{R}) (todas as matrizes 2\times2 com entradas reais).
B = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \in \mathrm{M}_2(\mathbb{R}) \mid a,b\in\mathbb{R}\right\}.
A pergunta explícita: "Verifique se B é subanel de A".]

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) o que significa ser um subanel. Vou explicar de um jeito prático: um subconjunto B de um anel A é um subanel se, usando as mesmas operações de A,
  1. B é um subgrupo aditivo de A — isto é, contém o elemento zero, é fechado sob adição e fechado sob inversos aditivos; e
  2. B é fechado sob multiplicação.
    Obs.: Há duas versões que os livros usam: algumas exigem também que o subanel contenha o mesmo elemento unidade 1_A. Vou verificar as duas coisas: (a) se B é subanel no sentido padrão (fechado para adição, negativos e produto) e (b) se contém a unidade de A.

Passo 3

Mostrando que B não é vazio e contém o zero aditivo.
Pegando a=0 e b=0 obtemos a matriz nula:
0_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\in B.
Portanto B\neq\varnothing e contém o elemento neutro aditivo de A.]

Passo 4

Fechamento de B sob adição (explicando passo a passo).
Tome duas matrizes quaisquer em B:
M_1=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad M_2=\begin{pmatrix}c & d \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
com a,b,c,d\in\mathbb{R}. Somando linha a linha/coluna a coluna:
M_1+M_2=\begin{pmatrix}a+c & b+d \\[4pt] 0+0 & 0+0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a+c & b+d \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
As entradas da segunda linha continuam 0, e a+c,\;b+d são reais, logo M_1+M_2\in B. Assim B é fechado para adição.]

Passo 5

Fechamento sob inversos aditivos (negativos).
Para uma matriz genérica em B,
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
o inverso aditivo é
- M=\begin{pmatrix}-a & -b \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que também é da forma exigida (segunda linha nula), logo -M\in B. Assim B é um subgrupo aditivo de A.]

Passo 6

Fechamento sob multiplicação (mostrando a conta).
Multiplicando duas matrizes de B,
M_1M_2= \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c & d \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ac + b\cdot 0 & ad + b\cdot 0 \\[4pt] 0\cdot c + 0\cdot 0 & 0\cdot d + 0\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ac & ad \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Novamente a segunda linha é (0,0) e as entradas da primeira linha são reais, então M_1M_2\in B. Logo B é fechado sob multiplicação.]

Passo 7

Conclusão sobre ser subanel.
Do Passo 3 ao Passo 6 vimos que B contém o zero aditivo, é fechado sob adição e inversos aditivos (portanto é subgrupo aditivo) e é fechado sob multiplicação. Pelo critério padrão, isso basta para concluir que B é um subanel de A=\mathrm{M}_2(\mathbb{R}).
Agora checamos se B contém a unidade multiplicativa de A (o caso “com unidade”). A identidade em A é
I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Mas I_2 não é da forma \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} porque a entrada (2,2) de I_2 é 1\neq 0. Portanto I_2\notin B. Assim B não é um subanel unital que preserva a mesma unidade de A.
Uma pequena analogia para fixar: isso é parecido com o conjunto 2\mathbb{Z} dentro de \mathbb{Z} — é subanel (fechado em soma, negativo e produto), mas não contém 1.]

Resposta

Sim. B é subanel de A (fechado para adição, inversos aditivos e multiplicação).
Não. B não contém a identidade multiplicativa I_2 de A, logo não é subanel com unidade de A.

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